সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=x.দৃশ্যকল্প-২: h(x)=sin⁡x.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

$\therefore f\left(y\right)=\sqrt{y},f\left(c\right)=\sqrt{c}$

বক্ররেখার সমীকরণ,

$f\left(x\right)+f\left(y\right)=f\left(c\right)$

বা, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{c}\dots \left(i\right)$

আবার, (a, b) বিন্দুটি (i) নং এর স্পর্শ বিন্দু

$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}$ ........ (ii)

(i) নং কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{c}\right)$

বা, $\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{d}{dx}\left(y^{\frac{1}{2}}\right)=0$.

বা, $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{y}^{-\frac{1}{2}}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

$(a,b)$ বিন্দুতে $\frac{dy}{dx}={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(a,b)}=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

(a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-y_1={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(a,b)}(x-x_1)$

বা, $y-b=-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}(x-a)$

বা, $\sqrt{a}y-\sqrt{ab}=-\sqrt{b}x+a\sqrt{b}$

বা, $\sqrt{b}x+\sqrt{a}y=a\sqrt{b}+\sqrt{ab}$

বা, $\frac{\sqrt{b}x+\sqrt{ay}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}[\sqrt{a}\sqrt{b}$ দ্বারা ভাগ করে $]$

বা,  $\frac{x}{\sqrt{a}}+\frac{y}{\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

বা, $\frac{x}{\sqrt{a}}+\frac{y}{\sqrt{b}}=\sqrt{c}$ [(ii) নং হতে]

এখন, $y=0$ হলে, $x$ অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ,

$x=\sqrt{a}\sqrt{c}$

$x=0$ হলে, $y$ অক্ষ হতে স্পর্শকটির কর্তিত অংশ,

$y=\sqrt{b}\sqrt{c}$

$\therefore$ স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল

$=\sqrt{a}\sqrt{c}+\sqrt{b}\sqrt{c}$

$=\sqrt{c}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

$=\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}$

$=c;$ যা একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=\sin x$

এবং $y=1+2h\left(x\right)+3[1-\{h\left(x\right){\}}^2]$; যখন $0\le x\le \frac{\pi }{2}$

$=1+2\sin x+3[1-{\sin }^{2}x]$

$=1+2\sin x+3{\cos }^{2}x$

$\therefore \frac{dy}{dx}=0+2\cos x+3\times 2\cos x(-\sin x)$ [x-এ র সাপেক্ষে অন্তনীকরল করে]

$=2\cos x-6\sin x\cdot \cos x$

$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2(-\sin x)-6\{\sin x(-\sin x)+\cos x\times \cos x\}$

[পুণরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

$=-2\sin x-6({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

চরমমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $2\cos x-6\sin x\cos x=0$

বা, $\cos x-3\sin x\cos x=0$

বা, $\cos x(1-3\sin x)=0$

বা, $\cos x=0$

অথবা, $1-3\sin x=0$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

বা, $1=3\sin x$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

বা, $\sin x=\frac{1}{3}$

$\therefore x={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

এখানে, $\cos x=0$

বা, ${\cos }^{2}x=0$

বা, $1-{\sin }^{2}x=0$

বা, ${\sin }^{2}x=1$

$\therefore \sin x=1[\because 0\le x\le \frac{\pi }{2}$; তাই ঋণাত্মক বর্জন করে]. $\cos x=0$ এ $\sin x=1$ হলে,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2\times 1-6(0-1)=-2+6=4>0$

$x=\frac{\pi }{2}$ তে $y$ ফাংশনের লঘুমান বিদ্যমান।

অতএব, ফাংশনটির লঘুমান $=1+2\sin \frac{\pi }{2}+3{\cos }^2\frac{\pi }{2}$

$=1+2\times 1+3\times 0=3$

আবার, $x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$

ব!, $\sin x=\frac{1}{3}$ হলে, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2\sin x-6({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

$\therefore {\left(\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}\right)}_{x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}}=-2\times \frac{1}{3}-6(1-2\times \frac{1}{9})$

$=-2\sin x-6(1-2{\sin }^{2}x)$

$=-\frac{2}{3}-6+\frac{4}{3}=\frac{-2-18+4}{3}=-\frac{16}{3}<0$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ তে $y$ ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

অতএব, ফাংশনটির গুরুমান $=1+2\sin {\sin }^{-1}\frac{1}{3}+3\{1-{(\sin {\sin }^{-1}\frac{1}{3})}^2\}$

$=1+2\times \frac{1}{3}+3\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\}$

$=1+\frac{2}{3}+3(1-\frac{1}{9})$

$=1+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{3+2+8}{3}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}$

নির্ণেয় গুরুমান $4\frac{1}{3}$ এবং লঘুমান 3 .