সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=x−1xদৃশ্যকল্প-২: 1+12x+1.322⋅2!x2+13.523⋅3!x3+13.5⋅724⋅4!x4+……’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}$

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^{2n}={(x-\frac{1}{x})}^{2n}$

এখানে, ঘাত $2n$ যা জোড় সংখ্যা।

অতএব, মধ্যপদ হবে একটি।

${(x-\frac{1}{x})}^{2n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হবে $(\frac{2n}{2}+1)$ তম বা $(n+1)$ তম পদ।

$(n+1)$ তম পদ $={}^{2n}{C}_n\cdot x^{2n-n}\cdot {(-\frac{1}{x})}^n$

$={}^{2n}{C}_n{x}^n\frac{1}{x^n}(-1{)}^n={}^{2n}{C}_n(-1{)}^n=\frac{\left(2n\right)!}{(n!{)}^2}(-1{)}^n$

$=\frac{2n(2n-1)(2n-2)\dots 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(n!{)}^2}(-1{)}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots .\dots (2n-1\left)\right\}(2\cdot 4.6\dots 2n)}{(n!{)}^2}(-1{)}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots ..(2n-1\left)\right\}\left\{\right(2.1).(2.2).(2.3)\dots (2.n\left)\right\}}{(n!{)}^2}(-1{)}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots \dots (2n-1\left)\right\}{.2}^{n}n!}{(n!{)}^2}(-1{)}^n$

$=\frac{1.3.5\dots \dots (2n-1)}{n!}(-2{)}^n$

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^{2n}$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ $=\frac{1.3.5\dots \dots (2n-1)}{n!}(-2{)}^n.$ (প্রমাণিত)

প্রদত্ত অসীম ধারাটি : $1+\frac{1}{2}x+\frac{13}{2^2.2!}{x}^2+\frac{13.5}{2^3.3!}{x}^3+\frac{13.5.7}{2^4.4!}+$ .........

ধারাটির সাধারণ পদ, $u_n=\frac{1.3.5\dots \dots (2n-1)}{2^n\cdot n!}{x}^n$

$\therefore u_{n+1}=\frac{13\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot (2n+1)}{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{x}^{n+1}$

$\therefore \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1.3\cdot 5\cdots \cdots (2n-1)(2n+1)}{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{x}^{n+1}÷\frac{1.3\cdot 5\cdots \cdot (2n-1)\cdot x^n}{2^n\cdot n!}$

$=\frac{1.3\cdot 5\cdots \cdots (2n-1)(2n+1)}{2^n\cdot 2(n+1)n!}{x}^n\cdot x\times \frac{2^n\cdot n!}{1.3\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot x^n}$

$=\frac{2n+1}{2(n+1)}\cdot x=\frac{(2n+1)}{(2n+2)}\cdot x$

এখন, D'Alembert's Ration test ব্যবহার করে পাই,

$\underset{n\to \infty }{lim}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{lim}\left|\frac{(2n+1)}{(2n+2)}x\right|$

$=\underset{n\to \infty }{lim}\left|\frac{n(2n+\frac{1}{n})}{n(2n+\frac{2}{n})}x\right|$

$=|\frac{2+\frac{1}{\infty }}{2+\frac{2}{\infty }}\cdot x|$

$=|\frac{2+0}{2+0}\cdot x|$

$=|\frac{2}{2}\cdot x|=|x|<1$

অর্থাৎ $|x|<1$ হলে ধারাটি অভিসৃত।

$\therefore |x|<1$ এর ক্ষেত্রে ধারাটি অভিসৃত। (প্রমাণিত)