সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=x2+3x−2দৃশ্যকল্প-২…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

এবং $f\left(x\right)=x^2+3x-2$

সুতরাং, $f\left(A\right)=A^2+3A-2I_3$ [যেখানে $I_3$ হলো $3\times 3$ মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স]

এখানে,

$A^2=A\cdot A$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4-2+2& 2+0+3& 2+3+1\\ -4+0+6& -2+0+9& -2+0+3\\ 4-6+2& 2+0+3& 2+9+1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 2& 7& 1\\ 0& 5& 12\end{array}\right]$

$3A=3\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 3\\ -6& 0& 9\\ 6& 9& 3\end{array}\right]$

$2I_3=2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$\therefore f\left(A\right)=A^2+3A-2I_3$

$=\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 2& 7& 1\\ 0& 5& 12\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}6& 3& 3\\ -6& 0& 9\\ 6& 9& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4+6-2& 5+3-0& 6+3-0\\ 2-6-0& 7+0-2& 1+9-0\\ 0+6-0& 5+9-0& 12+3-2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}8& 8& 9\\ -4& 5& 10\\ 6& 14& 13\end{array}\right]$ ($Ans.$)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

$\therefore B=A^T={\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}2& -2& 2\\ 1& 0& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right]$

এখন, $B$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক,

$\left|B\right|=\left|\begin{array}{ccc}2& -2& 2\\ 1& 0& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right|$

$=2(0-9)-(-2)(1-3)+2(3-0)$

$=-18+2(-2)+6$

$=-18-4+6$

$=-16$

যেহেতু $\left|B\right|\ne 0$, সুতরাং $B^{-1}$ বিদ্যমান।

ধরি, $B$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ $B_{ij}$।

$B_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=0-9=-9$

$B_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=-(1-3)=2$

$B_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right|=3-0=3$

$B_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=-(-2-6)=8$

$B_{22}=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=2-2=0$

$B_{23}=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 3\end{array}\right|=-(6-(-2))=-8$

$B_{31}=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 3\end{array}\right|=-6-0=-6$

$B_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=-(6-2)=-4$

$B_{33}=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 0\end{array}\right|=0-(-2)=2$

$\therefore Adj\left(B\right)={\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}-9& 2& 3\\ 8& 0& -8\\ -6& -4& 2\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-9& 8& -6\\ 2& 0& -4\\ 3& -8& 2\end{array}\right]$

আমরা জানি,

$B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}Adj\left(B\right)$

$\therefore B^{-1}=\frac{1}{-16}\left[\begin{array}{ccc}-9& 8& -6\\ 2& 0& -4\\ 3& -8& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-9}{-16}& \frac{8}{-16}& \frac{-6}{-16}\\ \frac{2}{-16}& \frac{0}{-16}& \frac{-4}{-16}\\ \frac{3}{-16}& \frac{-8}{-16}& \frac{2}{-16}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{9}{16}& -\frac{1}{2}& \frac{3}{8}\\ -\frac{1}{8}& 0& \frac{1}{4}\\ -\frac{3}{16}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{8}\end{array}\right]$