সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x)=x4−3×3−11×2+23x−10দৃশ্যকল্প-২: g(x)=x3−3×2−8x+30…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে $g\left(x\right)=x^3-3x^2-8x+30=0$....... (i)

সমীকরণের একটি মূল $3+i$ হলে,

ধরি অপর মূলদ্বয় $3-i$ এবং $r$

$\therefore 3+i+3-i+r=3$

$=>6+r=3$

$\therefore r=-3$

$\therefore$ (i) নং সমীকরণের বাকিমূলগুলো $3-i$ এবং -3

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$f\left(x\right)=x^4-3x^3-11x^2+23x-10=0$

সমীকরণের একটি মূল 1 বাকিমূলগুলি $\alpha ,\beta ,\gamma$ হলে,

$\therefore 1+\alpha +\beta +\gamma =\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{1}=3$

$\Rightarrow \alpha +\beta +\gamma =2$

$\therefore 1\cdot \alpha +1\cdot \beta +1\cdot \gamma +\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a}=\frac{-11}{1}$

$\Rightarrow \alpha +\beta +\gamma +(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=-11$

$\Rightarrow \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-11-2=-13$

$\therefore 1\cdot \alpha \cdot \beta \cdot \gamma =\frac{-10}{1}=-10$

$\Rightarrow \alpha \beta \gamma =-10$

এখন ${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

$={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3-3\alpha \beta \gamma +3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\{{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha \left)\right\}+3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-3(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=2\times \{2^2-3(-13\left)\right\}+3(-10)=2\times 43-30=56$