সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=x+6দৃশ্যকল্প-২…’ Combined ২০১৮ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x+6$

এবং $g\left(x\right)=x^2$

$\therefore \int \frac{xdx}{f\left(x\right)\left\{g\right(x)+4\}}=\int \frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}\dots \dots \left(1\right)$

মনে করি, $\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x+6}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\dots \left(2\right)$

$\therefore x\equiv A(x^2+4)+(\mathrm{Bx}+C)(x+6)\dots \left(3\right)$

(3)নং এ $x=-6$ বসিয়ে পাই

$-6=A\left\{\right(-6{)}^2+4\}+(Bx+C)(-6+6)$

বা, $-6=A(36+4)+0$

বা, $40A=-6$

$\therefore A=\frac{-6}{40}=\frac{-3}{20}$

(3) নং এর উভয়পক্ষ থেকে $x^2$ ও $x$-এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$

$\therefore B=-A=-\left(\frac{-3}{20}\right)=\frac{3}{20}$

এবং $6B+C=1$

বা, $C=1-6$ B

$\therefore C=1-6\times \frac{3}{20}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

(2) নং এ A, B ও C-এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=\frac{\frac{-3}{20}}{x+6}+\frac{\frac{3x}{20}+\frac{1}{10}}{x^2+4}$

$=\frac{-3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}$

(1) নং হতে পাই,

$\int \frac{xdx}{f\left(x\right)\left\{g\right(x)+4\}}=\int \frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}$

$=\int \frac{-3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\}dx$

$=\frac{-3}{20}\int \frac{dx}{x+6}+\frac{3}{2\times 20}\int \frac{2x}{x^2+4}dx+\frac{1}{10}\int \frac{dx}{x^2+2^2}$

$=\frac{-3}{20}\ln |x+6|+\frac{3}{40}\ln |x^2+4|+\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+c$

$[\because \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\ln |f(x)|+c]$

$=\frac{1}{40}\{3\ln |x^2+4|+2{\tan }^{-1}\frac{x}{2}-6\ln |x+6|\}+c$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x+6$, এবং $g\left(x\right)=x^2$

ধরি, $y=f\left(x\right)=x+6$.

এবং $y=g\left(x\right)=x^2$

(4) নং এবং (5) নং হতে পাই,

$x^2=x+6$

বা, $x^2-x-6=0$

বা, $x^2+2x-3x-6=0$

বা, $x(x+2)-3(x+2)=0$

বা, $(x+2)(x-3)=0$

$\therefore x=-2,3$

$\therefore$ বক্ররেখা এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

$={\int }_{-2}^3(x+6-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}]}_{-2}^3$

$=(\frac{9}{2}+18-\frac{27}{3})-(\frac{4}{2}-12+\frac{8}{3})$

$=(\frac{9}{2}+9)-\left(\frac{12-72+16}{6}\right)$

$=\frac{27}{2}+\frac{22}{3}=\frac{81+44}{6}=\frac{125}{6}$ বর্গ একক।

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{125}{6}$ বর্গ একক।