সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: f(x,y)=16×2−9y2+64x+54y−161 দৃশ্যকল্প-২:…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f(x,y)=16x^2-9y^2+64x+54y-161$

শর্তমতে, $f(x,y)=0$

$\Rightarrow 16x^2-9y^2+64x+54y-161=0$

$\Rightarrow 16(x^2+4x)-9(y^2-6y)-161=0$

$\Rightarrow 16(x^2+4x+4-4)-9(y^2-6y+9-9)-161=0$

$\Rightarrow 16(x+2{)}^2-64-9(y-3{)}^2+81-161=0$

$\Rightarrow 16(x+2{)}^2-9(y-3{)}^2=161+64-81$

$\Rightarrow 16(x+2{)}^2-9(y-3{)}^2=144$

উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\Rightarrow \frac{16(x+2{)}^2}{144}-\frac{9(y-3{)}^2}{144}=1$

$\Rightarrow \frac{(x+2{)}^2}{9}-\frac{(y-3{)}^2}{16}=1$

$\therefore \frac{(x+2{)}^2}{3^2}-\frac{(y-3{)}^2}{4^2}=1\dots \dots \left(i\right)$

এটি একটি অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $\frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}-\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$ নির্দেশ করে।

তুলনা করে পাই, $a=3$, $b=4$ এবং শীর্ষবিন্দু $(\alpha ,\beta )=(-2,3)$।

আমরা জানি,

অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

$\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$

$\therefore e=\frac{5}{3}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:

$=\frac{2b^2}{a}$

$=\frac{2\times 16}{3}$

$=\frac{32}{3}$ একক।

নিয়ামকের পাদবিন্দু:

আমরা জানি,

নিয়ামকের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\pm \frac{a}{e}+\alpha ,\beta )$

এখানে, $\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}=\pm \frac{9}{5}$

অতএব, পাদবিন্দুদ্বয়: $(\pm \frac{9}{5}-2,3)$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই: $(\frac{9}{5}-2,3)\Rightarrow (\frac{9-10}{5},3)\Rightarrow (-\frac{1}{5},3)$

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই: $(-\frac{9}{5}-2,3)\Rightarrow (\frac{-9-10}{5},3)\Rightarrow (-\frac{19}{5},3)$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{32}{3}$ একক এবং নিয়ামকের পাদবিন্দুদ্বয়: $(-\frac{1}{5},3)$ ও $(-\frac{19}{5},3)$।

দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে পাই,

পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, $A(2,3)$

নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y=6\Rightarrow y-6=0\dots \dots \left(i\right)$

যেহেতু নিয়ামক রেখাটি অনুভূমিক ($x$-অক্ষের সমান্তরাল), তাই পরাবৃত্তের অক্ষরেখা হবে উলম্ব ($y$-অক্ষের সমান্তরাল)।

অক্ষরেখাটি শীর্ষবিন্দু $A(2,3)$ গামী হওয়ায় এর সমীকরণ হবে: $x=2$।

অক্ষরেখা ($x=2$) এবং নিয়ামক রেখা ($y=6$) এর ছেদবিন্দুই হলো নিয়ামকের পাদবিন্দু।

অতএব, নিয়ামকের পাদবিন্দু, $Z(2,6)$।

ধরি, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(\alpha ,\beta )$।

আমরা জানি,

শীর্ষবিন্দু $A$, উপকেন্দ্র $S$ এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z$ এর মধ্যবিন্দু।

সুতরাং, $A(2,3)=(\frac{\alpha +2}{2},\frac{\beta +6}{2})$

স্থানাঙ্ক সমীকৃত করে পাই,

$\frac{\alpha +2}{2}=2\Rightarrow \alpha +2=4\Rightarrow \alpha =2$

$\frac{\beta +6}{2}=3\Rightarrow \beta +6=6\Rightarrow \beta =0$

অতএব, উপকেন্দ্র, $S(2,0)$।

এখন ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু $P(x,y)$ এবং $P$ থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব $PM$।

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি, $SP=PM$

$\Rightarrow S{P}^2=P{M}^2$

$\Rightarrow (x-2{)}^2+(y-0{)}^2={\left(\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)}^2$

$\Rightarrow (x-2{)}^2+y^2=(y-6{)}^2$

$\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36$

$\Rightarrow x^2-4x+12y+4-36=0$

$\therefore x^2-4x+12y-32=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2-4x+12y-32=0$।