সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x,y)=4×2−9y2−16x−54y−101.দৃশ্যকল্প-২…’ সরকারি আজিজুল হক কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f(x,y)=4x^2-9y^2-16x-54y-101$

আবার, $f(x,y)=0$

বা, $4x^2-9y^2-16x-54y-101=0$

$4x^2-9y^2-16x+54y-101=0$

বা, $4(x^2-4x)-9(y^2-6y)-101=0$

বা, $4(x^2-2.x.2+2^2)-9(y^2-2.y.3+3^2)-101-16+81=0$

বা, $4(x-2{)}^2-9(y-3{)}^2=36$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{9}-\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{3^2}-\frac{(y-3{)}^2}{2^2}=1$; যा একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ

সমীকরণটিকে $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-2,Y=y-3$

$a=3$ এবং $b=2$

$\therefore$ উৎকেন্দিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1+\frac{2^2}{3^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9+4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

উপকেন্দ্র (土 ae, 0)

অর্থাৎ, $X=\pm \mathrm{ae}$

বা, $x-2=\pm 3\times \frac{\sqrt{13}}{3}=\pm \sqrt{13}$

$\therefore x=2+\sqrt{13},2-\sqrt{13}$

এবং $Y=0$

বা, $y-3=0$

$\therefore y=3$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয় $(2+\sqrt{13},3)$ ও $(2-\sqrt{13},3)$ অধিবৃত্তের নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ,

$X=\pm \frac{a}{e}$

বা, $x-2=\pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}=\pm 3\times \frac{3}{\sqrt{13}}=\pm \frac{9}{\sqrt{13}}$

বা, $\sqrt{13}x-2\sqrt{13}=\pm 9$

$\therefore \sqrt{13}x-2\sqrt{13}\pm 9=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $(2+\sqrt{13},3),(2-\sqrt{13},3)$

এবং নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ $\sqrt{13}x-2\sqrt{13}\pm 9=0$.

ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ...... (i)

যেখানে $a>b$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রদ্বয় $(1,1)$ এ $(-1,-1)$

প্রশ্নমতে, ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য, $2b=2$

বা, $b=\frac{2}{2}$

বা, $b=1$

বা, $b^2=1^2$

$\therefore b^2=1$

এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব,

$2\mathrm{ae}=\sqrt{(1+1{)}^2+(1+1{)}^2}$

বা, $2\mathrm{ae}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$

বা, $\mathrm{ae}=\sqrt{2}$ বा, $e=\frac{\sqrt{2}}{a}$

আমরা জানি, উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$

বা, ${\left(\frac{\sqrt{2}}{a}\right)}^2=1-\frac{1}{a^2}[\because e=\frac{\sqrt{2}}{a}$ এবং $b^2=1]$

বা, $\frac{2}{a^2}=\frac{a^2-1}{a^2}$

বা, $2=a^2-1$

বা, $a^2=2+1\therefore a^2=3$

(i)নং সমীকরণে $a^2\leftrightarrow b^2$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$.