সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(x,y)=4×2−9y2+24x+18y+63…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=4x^2-9y^2+24x+18y+63$

আবার, $f(x,y)=0$
বা, $4x^2-9y^2+24x+18y+63=0$.
বা, $4x^2+24x-9y^2+18y=-63$
বা, $4(x^2+6x)-9(y^2-2y)=-63$
বা, $4(x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2)-9(y^2-2\cdot y,1+1^2)=-63+36-9$
বা, $4(x+3{)}^2-9(y-1{)}^2=-36$
বা, $\frac{4(x+3{)}^2}{-36}-\frac{9(y-1{)}^2}{-36}=1$

বা, $\frac{(y-1{)}^2}{4}-\frac{(x+3{)}^2}{9}=1$
$\therefore \frac{(y-1{)}^2}{2^2}-\frac{(x+3{)}^2}{3^2}=1$; যা  এकটি অধিবৃত্ত।
ইহাকে $\frac{Y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ এর সাবে তুলনা করে পাই,

$X=x+3,Y=y-1,a=3$  এবং  $b=2$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$

$\begin{array}{cc}& =\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}\end{array}$

উপকেন্দ্র  $(0,\pm$ be $)=(0,\pm 2\times \frac{\sqrt{13}}{2})=(0,\pm \sqrt{13})$
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2a^2}{b}=\frac{2\times 9}{2}=9$ একক 
নিয়ামকের সমীকরণ, $Y=\pm \frac{b}{e}$
বা, $y-1=\pm \frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\pm 2\times \frac{2}{\sqrt{13}}$
বা, $y-1\pm \frac{4}{\sqrt{13}}=0$
নির্ণেয় অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র $(0,\pm \sqrt{13})$, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য  $9$ একক এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y-1\pm \frac{4}{\sqrt{13}}=0$.

দেওয়া আছে; পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(2,-2)$
এবং নিয়ামক রেখা $x-y+1=0$
ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$
তাহলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই, 

$SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-2)+(y+2{)}^2}=\frac{|x-y+1|}{\sqrt{(1{)}^2+(-1{)}^2}}$
বা, $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=\frac{(x-y+1{)}^2}{2}$ [বর্গ করে]
বা, $2(x^2-4x+4+y^2+4y+4)=x^2+y^2+1-2xy-2y+2x$
বা, $2x^2-8x+8+2y^2+8y+8-x^2-y^2-1+2xy+2y-2x=0$

$\therefore x^2+y^2-10x+10y+2xy+15=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ  $x^2+y^2-10x+10y+2xy+15=0$.