সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :f(x,y)=x+iy;দৃশ্যকল্প-২: p(x)=x3−1…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sqrt[3]{Z_2}=p+iq$

বা, $\sqrt[3]{a+ib}=p+iq$বা, $a+ib=(p+iq{)}^3$

বা, $a+ib=p^3+3\cdot p^2\cdot iq+3.p.(iq{)}^2+(iq{)}^3$

$=p^3-3p{q}^2+i(3p^{2}q-q^3)[\because i^3=-i]$

এখন, বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$\therefore a=p^3-3p{q}^2$ এবং $b=3p^{2}q-q^3$

বা, $a=p(p^2-3q^2)$এবং $b=q(3p^2-q^2)$

বা; $;\frac{a}{p}=p^2-3q^2$

বা, $\frac{b}{q}=3p^2-q^2$

এখন, $\frac{a}{p}-\frac{b}{q}=p^2-3q^2-3p^2+q^2$

$=-2p^2-2q^2=-2(p^2+q^2)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $p\left(x\right)=x^3-1=0$বা, $(x-1)(x^2+x+1)=0$

হয়, $x-1=0$অথবা, $x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}$$\therefore x=1=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}=\omega ,{\omega }^2$

অর্থাৎ, $p\left(x\right)=0$ সমীকরণটির মূলত্রয় হলো $1,\omega$ও${\omega }^2$মনে করি, আর্গন্ড চিত্রে, 1 বা, $1+0.i$এর প্রতিরূপী বিন্দু$A(1,0)$

$\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$বা, $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$এর প্রতিরূপী বিন্দু, $B(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$বা, $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$এর প্রতিরূপী বিন্দু, $C(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$এখন, $(1,0)$ও $\omega$এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$\mathrm{AB}=\sqrt{{(1+\frac{1}{2})}^2+{(0-\frac{\sqrt{3}}{2})}^2}$ একক $=\sqrt{3}$ একক

$(1,0)$ও ${\omega }^2$এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$\mathrm{AC}=\sqrt{{(1+\frac{1}{2})}^2+{(0+\frac{\sqrt{3}}{2})}^2}$একক $=\sqrt{3}$ একক

$\omega$ও ${\omega }^2$এর মধ্যবর্ণী দূরত্ব,

$\mathrm{BC}=\sqrt{{(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}^2+{(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})}^2}$একক $=\sqrt{3}$একক

আর্গন্ড চিত্রে $1,\omega$ও ${\omega }^2$এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত$\mathrm{ABC}$ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।

$\therefore p\left(x\right)=0$ সমীকরণের মূলগুলো আর্গন্ড চিত্রে সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। (দেখানো হলো)