সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(y)=ay2+by+cদৃশ্যকল্প-২…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(y\right)=a{y}^2+\mathrm{by}+c$

এবং $f\left(y\right)=x$

$\therefore x=a{y}^2+by+c$ ......... (1)

(1) নং একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে যার অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল।

আমরা জানি, $(\alpha ,\beta )$ শীর্ষ ও $x$ অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$(y-\beta {)}^2=4a(x-\alpha )$

$\therefore (3,-2)$ শীর্ষবিশিষ্ট ও অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$(y+2{)}^2=4a(x-3)$ ........ (2)

(2) নং সমীকরণ $(5,0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (0+2{)}^2=4a\times (5-3)$

বা, $4=4a\times 2$

বা, $2a=1$

$a=\frac{1}{2}$

a এর মান (2) নং সমীকরতে বসিয়ে পাই,

$(y+2{)}^2=4\times \frac{1}{2}(x-3)$

বা, $(y+2{)}^2=2(x-3)$

বা, $y^2+4y+4=2x-6$

বা, $2x=y^2+4y+10$

$\therefore x=\frac{y^2}{2}+2y+5$

এখন (3) নং সমীকরণটিকে (1) নং সমীকরণ $x=a{y}^2+by+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$.

নির্ণেয় মান : $a=\frac{1}{2},b=2,c=5$

ধরি, $Z$ বিন্দুর স্থানাজ্ক $(\alpha ,\beta )$

পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে Z ও S এর মধ্যবিন্দু A

$\therefore \frac{\alpha +4}{2}=1$

বা, $\alpha +4=2$

বা, $\alpha =2-4=-2$

$\frac{\beta +2}{2}=2$

বা, $\beta +2=4$

বা, $\beta =4-2=2$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2,2)$

এখন, অক্ষরেখা অর্থাৎ $Z$ ও S এর সংযোজক রেখার সমীকরণ :

$y-2-\frac{2-2}{4+2}(x-4)$

বা, $y-2=\frac{0}{6}(x-4)=0$

$\therefore y=2$

আবার, নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব বলে,

নিয়ামক রেখাব সমীকরণ,

$x+k=0$

বা, $Z(-2,2)$ বিন্দুগামী,

$\therefore -2+k=0$

বা, $k=2$

$\therefore x+2=0$ যা निয়ামকের সমীকরণ

ধরি, পরাবৃত্তের উপর $P(x,y)$ একটি বিন্দু।

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\therefore \mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x-4{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{|x+2|}{\sqrt{1}}$

বা, $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(x+2{)}^2}{1}$ [বর্গ করে]

বা, $x^2-8x+16+y^2-4y+4=x^2+4x+4$

বা, $x^2+y^2-8x-4y+20=x^2+4x+4$

বা, $x^2+y^2-8x-4y+20-x^2-4x-4=0$

$\therefore x^2+y^2-12x-4y+16=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $y^2-12x-4y+16=0$.