সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f(y)=y(y2+4)(y+1)…’ Combined ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই:

$f\left(y\right)=\frac{y}{(y^2+4)(y+1)}$

নির্ণেয় ইন্টিগ্রাল:

${\int }_0^{2}f\left(y\right)dy={\int }_0^2\frac{y}{(y^2+4)(y+1)}dy$

আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর:

$\frac{y}{(y^2+4)(y+1)}=\frac{Ay+B}{y^2+4}+\frac{C}{y+1}$

উভয়পক্ষকে $(y^2+4)(y+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$y=(Ay+B)(y+1)+C(y^2+4)$

$y=-1$ বসিয়ে পাই:

$-1=C\left(\right(-1{)}^2+4)⟹-1=5C⟹C=-\frac{1}{5}$

$y^2$ এর সহগ তুলনা করে ($A+C=0⟹A=-C=\frac{1}{5}$)

ধ্রুবক পদের তুলনা করে ($B+4C=0⟹B=-4C=\frac{4}{5}$)

তাহলে আংশিক ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়:

$\frac{y}{(y^2+4)(y+1)}=\frac{\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}}{y^2+4}-\frac{\frac{1}{5}}{y+1}=\frac{1}{5}(\frac{y}{y^2+4}+\frac{4}{y^2+4}-\frac{1}{y+1})$

সমাকলন (Integration) নির্ণয়:

${\int }_0^2\frac{1}{5}[\frac{y}{y^2+4}+\frac{4}{y^2+4}-\frac{1}{y+1}]dy$

$=\frac{1}{5}{[\frac{1}{2}\ln (y^2+4)+4\cdot \frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)-\ln (y+1\left)\right]}_0^2$

$=\frac{1}{5}{[\frac{1}{2}\ln (y^2+4)+2{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)-\ln (y+1\left)\right]}_0^2$

সীমা (Limits) বসিয়ে মান হিসাব:

ঊর্ধ্বসীমা $y=2$ বসিয়ে:

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (2^2+4)+2{\tan }^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-\ln (2+1\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (8)+2{\tan }^{-1}(1)-\ln (3\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (8)+2\left(\frac{\pi }{4}\right)-\ln (3\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[\frac{3}{2}\ln (2)+\frac{\pi }{2}-\ln (3\left)\right]$(যেহেতু $\frac{1}{2}\ln \left(8\right)=\frac{1}{2}\ln \left(2^3\right)=\frac{3}{2}\ln \left(2\right)$)

নিম্নসীমা $y=0$ বসিয়ে:

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (0+4)+2{\tan }^{-1}(0)-\ln (0+1\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (4)+0-0]$

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (2^2\left)\right]=\frac{1}{5}\ln \left(2\right)$

উভয় সীমার বিয়োগফল:

$=\frac{1}{5}[\frac{3}{2}\ln (2)+\frac{\pi }{2}-\ln (3)-\ln (2\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[(\frac{3}{2}-1)\ln (2)+\frac{\pi }{2}-\ln (3\left)\right]$

$=\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (2)+\frac{\pi }{2}-\ln (3\left)\right]$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{5}[\frac{1}{2}\ln (2)-\ln (3)+\frac{\pi }{2}]$

দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী, পরাবৃত্তের সমীকরণ $y^2=4ax$ এবং সরলরেখার সমীকরণ $y=2x$।

ছেদবিন্দু নির্ণয়:

পরাবৃত্ত ও সরলরেখার সমীকরণ হতে $y$ এর মান বসিয়ে পাই:

$(2x{)}^2=4ax$

$4x^2=4ax$

$4x^2-4ax=0$

$4x(x-a)=0$

এখান থেকে পাই, $x=0$ এবং $x=a$।

যখন $x=0$, তখন $y=0$ এবং যখন $x=a$, তখন $y=2a$।

অতএব, ছেদবিন্দুদ্বয় হলো $(0,0)$ এবং $(a,2a)$।

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$ হবে পরাবৃত্তের মূল ফাংশন ও সরলরেখার মধ্যবর্তী এলাকার সমাকলন:

$A={\int }_0^a$ (উপস্থিত ওপরের রেখা / বক্ররেখা - নিচের রেখা)

এখানে পরাবৃত্ত থেকে পাই, $y=\sqrt{4ax}=2\sqrt{ax}$ এবং সরলরেখা থেকে $y=2x$।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল:

$A={\int }_0^a(2\sqrt{ax}-2x)dx$

$={\int }_0^a(2\sqrt{a}{x}^{1/2}-2x)dx$

$={[2\sqrt{a}\cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}-2\cdot \frac{x^2}{2}]}_0^a$

$={[\frac{4}{3}\sqrt{a}{x}^{3/2}-x^2]}_0^a$

$=(\frac{4}{3}\sqrt{a}{a}^{3/2}-a^2)-0$

$=\frac{4}{3}{a}^2-a^2$

$=(\frac{4}{3}-1)a^2$

$=\frac{1}{3}{a}^2$

$a$ এর মান নির্ণয়:

প্রশ্নমতে, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $3$ বর্গ একক।

$\frac{1}{3}{a}^2=3$

$a^2=9$

$a=3$ (যেহেতু $a>0$)

নির্ণেয় মান: $a=3$