সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: F1 ও…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, O বিন্দুতে OX বরাবর $F_1,OY$ বরাবর $F_2$ বল ক্রিয়া করলে

এদের লব্ধি R,OZ বরাবর ক্রিয়া করে। আবার বলদ্বয় অবস্থান পরিবর্তন করলে

অর্থাৎ $\mathrm{OX}$ বরাবর $F_2$, OY বরাবর $F_1$ ক্রিয়া করলে লব্ধি $mathrm{R}, mathrm{OZ}'$ বরাবর ক্রিয়া করবে।

এখানে, $\angle \mathrm{XOY}=\alpha$ এবং $\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{YOZ}$ ও $\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\theta$

সুতরাং $\angle \mathrm{XOZ}+\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }+\angle {\mathrm{YOZ}}^{\prime }=\angle \mathrm{XOY}$

বা, $2\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{XOY}-\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\alpha -\theta$

বা, $\angle \mathrm{XOZ}=\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}$

আবার, $\angle YOZ=\angle ZO{Z}^{\prime }+\angle YO{Z}^{\prime }=\theta +\angle XOZ$

$\therefore \angle \mathrm{YOZ}=\theta +\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}=\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2}$

ত্রিভুজের সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{R}{\sin \angle \mathrm{XOY}}=\frac{F_1}{\sin \angle \mathrm{YOZ}}=\frac{F_2}{\sin \angle \mathrm{XOZ}}$

বা, $\frac{F_1}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, , $\frac{F_1}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

$\therefore$ শেষ দুটি অনুপাত নিয়ে আমরা পাই,

$\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, , $\frac{F_1+F_2}{2\sin \frac{\underset{―}{\alpha }}{2}\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{F_1-F_2}{2\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\theta }{2}}$

$\{\sin (A+B)+\sin (A-B\left)\right\}$ এবং $\{\sin (A+B)-\sin (A-B\left)\right\}$ এর সূত্র প্রয়োগ করে]

বা, $\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2}\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

$\therefore \tan \frac{\pi }{2}=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2}\tan \frac{\alpha }{2}$ (প্রমাণিত)

ধরি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে কার্যরত সদৃশ সমান্তরাল বল $P_1$ ও $P_2$ এর লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু $C$ এবং $\mathrm{CD}=S$

$\therefore P_1\cdot \mathrm{AC}=P_2\cdot \mathrm{BC}$

বা, $\frac{P_1}{BC}=\frac{P_2}{AC}=\frac{P_1+P_2}{BC+AC}$

বা, $\frac{P_2}{\mathrm{AC}}=\frac{P_1+P_2}{\mathrm{AB}}$

বা, , $AC=\frac{P_2}{P_1+P_2}AB..........\left(1\right)$

আবার, বল দুটি পরস্পর স্থান বিনিময় করনে যদি এদের লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু $D$ হয়, তবে $P_2\cdot \mathrm{AD}=$$P_1\cdot \mathrm{BD}$

বা, , $\frac{P_2}{BD}=\frac{P_1}{AD}=\frac{P_1+P_2}{BD+AD}=\frac{P_1+P_2}{AB}$

বা, $\frac{P_1}{AD}=\frac{P_1+P_2}{AB}$

বা, $AD=\frac{P_{1}AB}{P_1+P_2}\dots \dots \left(2\right)$

(2) নং হত্ (1) নং বিয়োগ করে পাই,

$\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=\frac{P_1}{P_1+P_2}\mathrm{AB}-\frac{P_2}{P_1+P_2}\mathrm{AB}$

বা, $CD=\frac{P_{1}AB-P_{2}AB}{P_1+P_2}$

বা, $S=\frac{P_1-P_2}{P_1+P_2}AB$

$\therefore S=\frac{P_1-P_2}{P_1+P_2}\mathrm{AB}$ (দেখানো হলো)