সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: F1 ও…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, O বিন্দুতে OX বরাবর $F_1,OY$ বরাবর $F_2$ বল ক্রিয়া করলে
এদের লব্ধি R,OZ বরাবর ক্রিয়া করে। আবার বলদ্বয় অবস্থান পরিবর্তন করলে
অর্থাৎ OX বরাবর $F_2$, oY বরাবর $F_1$ ক্রিয়া করলে লব্ধি $R,\mathrm{OZ}<$ spanstyle $=$ "color : rgb(31, 41,55 );" $>$ '< /span > বরাবর ক্রিয়া করবে।

এখানে, $\angle \mathrm{XOY}=\alpha$ এবং $\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{YOZ}$ ও $\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\theta$
সুতরাং $\angle \mathrm{XOZ}+\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }+\angle {\mathrm{YOZ}}^{\prime }=\angle \mathrm{XOY}$
বা, $2\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{XOY}-\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\alpha -\theta$
বা, $\angle \mathrm{XOZ}=\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}$
আবার, $\angle YOZ=\angle ZO{Z}^{\prime }+\angle YO{Z}^{\prime }=\theta +\angle XOZ$

$\therefore \angle \mathrm{YOZ}=\theta +\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}=\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2}$

ত্রিভুজের সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{R}{\sin \angle \mathrm{XOY}}=\frac{F_1}{\sin \angle \mathrm{YOZ}}=\frac{F_2}{\sin \angle \mathrm{XOZ}}$

বা, $\frac{F_1}{\sin (\frac{\theta }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\theta }{2}-\frac{\theta }{2})}$
বা, $\frac{F_1}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$
∴ শেষ দুটি অনুপাত নিয়ে আমরা পাই,

$\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, $\frac{F_1+F_2}{2\sin \frac{\sigma }{2}\cos \frac{\sigma }{2}}=\frac{F_1-F_2}{2\cos \frac{\sigma }{2}\sin \frac{\sigma }{2}}$
$\{\sin (A+B)+\sin (A-B\left)\right\}$ এবং $\{\sin (A+B)-\sin (A-B\left)\right\}$ এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, $\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2}\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

$\therefore \tan \frac{\pi }{2}=\frac{F_1{F}_2}{F_1+F_2}\tan \frac{\alpha }{2}$ (প্রমাণিত)

লামির সূত্র হতে পাই, $\frac{P}{\mathrm{Sin}BOC}=\frac{Q}{\mathrm{Sin}AOC}=\frac{R}{\mathrm{Sin}AOB}$

$\Rightarrow \frac{P}{\mathrm{Sin}2\times \angle BAC}=\frac{Q}{\mathrm{Sin}2\times \angle ABC}=\frac{R}{\mathrm{Sin}2\times \angle ACB}$
$\Rightarrow \frac{P}{\mathrm{Sin}2A}=\frac{Q}{\mathrm{Sin}2B}=\frac{R}{\mathrm{Sin}2C}$
$\therefore P:Q:R=\mathrm{Sin}2A:\mathrm{Sin}2B:\mathrm{Sin}2C$ (প্রমাণিত)