সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : F1…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, O বিন্দুতে OX বরাবর $F_1,OY$ বরাবর $F_2$ বল ক্রিয়া করলে

এদের লব্ধি R,OZ বরাবর ক্রিয়া করে। আবার বলদ্বয় অবস্থান পরিবর্তন করলে

অর্থাৎ $\mathrm{OX}$ বরাবর $F_2$, OY বরাবর $F_1$ ক্রিয়া করলে লব্ধি $mathrm{R}, mathrm{OZ}'$ বরাবর ক্রিয়া করবে।

এখানে, $\angle \mathrm{XOY}=\alpha$ এবং $\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{YOZ}$ ও $\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\theta$

সুতরাং $\angle \mathrm{XOZ}+\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }+\angle {\mathrm{YOZ}}^{\prime }=\angle \mathrm{XOY}$

বা, $2\angle \mathrm{XOZ}=\angle \mathrm{XOY}-\angle {\mathrm{ZOZ}}^{\prime }=\alpha -\theta$

বা, $\angle \mathrm{XOZ}=\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}$

আবার, $\angle YOZ=\angle ZO{Z}^{\prime }+\angle YO{Z}^{\prime }=\theta +\angle XOZ$

$\therefore \angle \mathrm{YOZ}=\theta +\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}=\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2}$

ত্রিভুজের সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{R}{\sin \angle \mathrm{XOY}}=\frac{F_1}{\sin \angle \mathrm{YOZ}}=\frac{F_2}{\sin \angle \mathrm{XOZ}}$

বা, $\frac{F_1}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, , $\frac{F_1}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}=\frac{F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

$\therefore$ শেষ দুটি অনুপাত নিয়ে আমরা পাই,

$\frac{F_1+F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}=\frac{F_1-F_2}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, , $\frac{F_1+F_2}{2\sin \frac{\underset{―}{\alpha }}{2}\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{F_1-F_2}{2\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\theta }{2}}$

$\{\sin (A+B)+\sin (A-B\left)\right\}$ এবং $\{\sin (A+B)-\sin (A-B\left)\right\}$ এর সূত্র প্রয়োগ করে]

বা, $\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2}\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

$\therefore \tan \frac{\pi }{2}=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2}\tan \frac{\alpha }{2}$ (প্রমাণিত)

$\alpha$ কোণে ক্রিয়াশীল Q ও R বলদ্ধয়ের লব্ধি $(2n+1)\sqrt{Q^2+R^2}$ হলে

আমরা পাই,

${\left\{\right(2n+1\left)\sqrt{Q^2+R^2}\right\}}^2=Q^2+R^2+2QR\cos \alpha$

বা, $(4n^2+4n+1)(Q^2+R^2)=(Q^2+R^2)+2QR\cos \alpha$

বা, $(Q^2+R^2)(4n^2+4n+1-1)=2QR\cos \alpha$

বা, $4n(n+1)(Q^2+R^2)=2QR\cos \alpha$ .......... (i)

আবার, $(\frac{\pi }{2}-\alpha )$ কোণে ক্রিয়ারত $Q$ ও $R$ বলদ্বয়ের লব্ধি $(2n-1)\sqrt{Q^2+R^2}$ হলে, আমরা পাই,

${\left\{\right(2n-1\left)\sqrt{Q^2+R^2}\right\}}^2=Q^2+R^2+2QR\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$

বা, $(4n^2-4n+1)(Q^2+R^2)=(Q^2+R^2)+2QR\sin \alpha$

বা, $(Q^2+R^2)(4n^2-4n+1-1)=2QR\sin \alpha$

বা, $4n(n-1)(Q^2+R^2)=2QR\sin \alpha$ .............. (ii)

$\text{ (ii) }÷\left(\text{ i }\right)\Rightarrow \frac{4n(n-1)(Q^2+R^2)}{4n(n+1)(Q^2+R^2)}=\frac{2QR\sin \alpha }{2QR\cos \alpha }$

বা, $\frac{n-1}{n+1}=\tan \alpha$

$\therefore \tan \alpha =\frac{n-1}{n+1}$. (প্রমাণিত)