সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : f1(x)=x2+2x+p…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+2x+p$
এবং $f_1\left(x\right)=0$
বা, $x^2+2x+p=0$$........\left(i\right)$

আবার, $f_2\left(x\right)=x^2+\mathrm{px}+2$
এবং $f_2\left(x\right)=0$
$\therefore x^2+\mathrm{px}+2=0$$........\left(ii\right)$

ধরি, $\left(1\right)$ নং ও $\left(2\right)$ নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল $\alpha$ হলে
${\alpha }^2+2\alpha +p=0$
এবং ${\alpha }^2+p\alpha +2=0$
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, $\frac{{\alpha }^2}{4-p^2}=\frac{\alpha }{p-2}=\frac{1}{p-2}$
এখন, $\frac{\alpha }{4-p^2}=\frac{\alpha }{p-2}$
বা, $\frac{{\alpha }^2}{-(p^2-2^2)}=\frac{\alpha }{p-2}$
বা, $\frac{\alpha }{-(p+2)(p-2)}=\frac{\alpha }{p-2}$ 

বা, $\frac{\alpha }{-(p+2)}=1$

$\therefore \alpha =-(p+2)$

এবং $\frac{\alpha }{p-2}=\frac{1}{p-2}$
বা, $\frac{-(p+2)}{p-2}=\frac{1}{p-2}$
বা, $p-2=-(p+2)(p-2)$
বা, $(p-2)+(p+2)(p-2)=0$
বা, $(p-2)(1+p+2)=0$
বা, $(p-2)(p+3)=0$

$\therefore p=2,-3$

কিন্দু $p=2$ হলে $\left(1\right)$ নং ও $\left(2\right)$ নং উভয় সমীকরণ একই হয় এবং এদের উভয় মূলই সাধারণ হয়।.
তাই, $p=-3$
অত্রব, সমীকরণখয়ের একটি সাধারণ মূল থাকবে যদি $p=-3$ হয়।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^3-5x^2+17x-13$
এবং $g\left(x\right)=0$
বা, $x^3-5x^2+17x-13=0$$......\left(1\right)$ 

$\left(1\right)$ নং এর একটি মূল $2+3i$ হলে, অপর একটি মূল হবে 2-3i [: জটিল মূল সবসময় অনুবন্ধী যুগলে থাকে] 
ধরি, তৃতীয় মূল $=\alpha$

$\therefore 2+3i+2-3i+\alpha =-\frac{-5}{1}$

বা, $\alpha +4=5$
বা, $\alpha =5-4$

$\therefore \alpha =1$

$\therefore$ সমীকরণটির অপর মূলদ্ধয় $2-3i,1.$