সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ g :…’ সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x$

$\therefore g\left(x^2\right)=x^2$

প্রদত্ত রাশি $=\int \frac{g\left(x^2\right)}{g\left(x\right)\left\{g\right(x)-1\}\{g\left(x^2\right)-1\}}dx$

$=\int \frac{x^{2}dx}{x(x-1)(x^2-1)}=\int \frac{x^{2}dx}{x(x-1)(x+1)(x-1)}=\int \frac{xdx}{(x-1{)}^2(x+1)}$

ধরি, $\frac{x}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$ ..... (1)

(1) নং এর উভয়পক্ষকে $(x-1{)}^2(x+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$ ..... (2)

(2) নং সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1=0+2B+0$

$\therefore B=\frac{1}{2}$

(ii) নং সমীকরণে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$-1=0+0+4C$

$\therefore C=-\frac{1}{4}$

আবার, (ii)নং সমীকরণে, $x=0$ বসিয়ে পাই,

$0=A(-1)\left(1\right)+B\left(1\right)+C(-1{)}^2$

বা, $0=-A+B+C$

বা, $A=B+C=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}$

এখন, A, B, C এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{\frac{1}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{(x-1{)}^2}+\frac{(-\frac{1}{4})}{x+1}$

$\therefore \int \frac{xdx}{(x-1{)}^2(x+1)}=\int (\frac{\frac{1}{4}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{(x-1{)}^2}-\frac{\frac{1}{4}}{x+1})dx$

$=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-1{)}^2}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x+1}dx$

$=\frac{1}{4}\ln |x-1|-\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{4}\ln |x+1|+c$

$=\frac{1}{4}\ln |x-1|-\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{4}\ln |x+1|+c$

দেওয়া আছে, $y^2=64x$

$=4.16.x$

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x=16$

কাজেই উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(16,32)$ ও $(16,-32)$।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = OABCO ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$\therefore$ আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=2\times \mathrm{AOB}$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$y^2=64x$

বা, $y=\pm 8\sqrt{x}$

$x$-অক্ষের উপরে y ধনাত্মক,

কাজেই $y=8\sqrt{x}$

$=2{\int }_0^{16}ydx$

$=2{\int }_0^{16}8\sqrt{x}dx$

$=16{\int }_0^{16}\sqrt{x}dx$

$=16{\left[\frac{x^{\frac{3}{3}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^{16}$

$=16\{\frac{(16{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-0\}=16\times \frac{2}{3}\times 64=\frac{2048}{3}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=\frac{2048}{3}$ বর্গ একক।