সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: g(x)=sin⁡xদৃশ্যকল্প-২: f(x)=cos−1⁡x…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ থেকে,

$g\left(x\right)=\sin x$

প্রশ্নমতে,

$2g(\pi -x)g\left(3x\right)=1$

$\Rightarrow 2\sin (\pi -x)\sin 3x=1$

$\Rightarrow 2\sin x\sin 3x=1$

$\Rightarrow \cos 2x-\cos 4x-1=0$

$\Rightarrow \cos 2x-(1+\cos 4x)=0$

$\Rightarrow 2{\cos }^{2}2x-\cos 2x=0$

$\Rightarrow \cos 2x(2\cos 2x-1)=0$

$\therefore \cos 2x=0$

$\Rightarrow 2x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{4},n\in z$

$|\begin{array}{c}or,\cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow 2x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}\\ \therefore x=n\pi \pm \frac{\pi }{6},n\in z\end{array}$

$\therefore x=n\pi +\frac{\pi }{6};x=n\pi -\frac{\pi }{6},n\in z$

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{4},x=\frac{\pi }{6},x=-\frac{\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $x=\frac{3\pi }{4},x=\frac{7\pi }{6},x=\frac{5\pi }{6}$

$n=2$ হলে, $x=\frac{11\pi }{6},x=\frac{13\pi }{6},x=\frac{5\pi }{4}$

$n=3$ হলে, $x=\frac{7\pi }{4},x=\frac{17\pi }{6},x=\frac{19\pi }{6}$

$\therefore 0\le x\le 2\pi$সীমার মধ্যে :

$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

নির্ণেয় সমাধান: $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\cos }^{-1}x$

$\therefore f\left(x\right)+f\left(y\right)+f\left(z\right)=\pi$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}x+{\cos }^{-1}y+{\cos }^{-1}z=\pi$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})=\pi -{\cos }^{-1}z$

$\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=\cos (\pi -{\cos }^{-1}z)=-\cos {\cos }^{-1}z=-z$

$\Rightarrow xy+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$

$\Rightarrow x^2{y}^2+2xyz+z^2=1-y^2-x^2+x^2{y}^2$ [বর্গ করে]

$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ (দেখানো হলো)