সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১, g(x)=sin⁡xদৃশ্যকল্প-২, x=tan⁡2y…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, $g\left(x\right)=\sin x$

ধরি, $f\left(x\right)=1+2g\left(x\right)+3[1-\{g\left(x\right){\}}^2]$

$=1+2\sin x+3(1-{\sin }^{2}x)$

$=1+2\sin x+3{\cos }^{2}x$$\mathrm{AC}=\mathrm{AB}\cos A+\mathrm{BC}\cos C$

$\Rightarrow \mathrm{BC}\cos C=\mathrm{AC}-\mathrm{AB}\cos A$

$AB=BC\cos B+AC\cos A$

$\Rightarrow B\cos B=AB-AC\cos A$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=2\cos x+6\cos x\cdot (-\sin x)$

$=2\cos x-6\sin x\cos x$

চরম মানের জন্য, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 2\cos x-6\sin x\cos x=0$

$\Rightarrow 2\cos x(1-3\sin x)=0$

$\therefore 2\cos x=0$ অথবা, $1-3\sin x=0$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin x=\frac{1}{3}$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$

আবার, $f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)=-2\sin x-6[\sin x(-\sin x)+\cos x\cdot \cos x]$

$=-2\sin x+6{\sin }^{2}x-6{\cos }^{2}x$

$=-2\sin x+6{\sin }^{2}x-56(1-{\sin }^{2}x)$

$=-2\sin x+6{\sin }^{2}x-6+6{\sin }^{2}x$

$=12{\sin }^{2}x-2\sin x-6$

$\therefore f^{\prime \prime }({\sin }^{-1}\frac{1}{3})=12\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2\times \frac{1}{3}-6$

$=12\times \frac{1}{9}-\frac{2}{3}-6$

$=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=\frac{-16}{3}<0$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনের চরম মান আছে

এবং উক্ত চরম মান, $f({\sin }^{-1}\frac{1}{3})=1+2\times \frac{1}{3}+3\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\}.$

$=1+\frac{2}{3}+3(1-\frac{1}{9})$

$=1+\frac{2}{3}+3\times \frac{8}{9}$

$=1+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}$

$=\frac{3+2+8}{3}$

$=\frac{13}{3}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, $x=\tan \sqrt{2y}$

$\Rightarrow \sqrt{2y}={\tan }^{-1}x$

$\Rightarrow 2j={({\tan }^{-1}x)}^2$

$\Rightarrow 2y_1=2{\tan }^{-1}x\times \frac{1}{1+x^2}$

$\Rightarrow (1+x^2)2y_1=2\times {\tan }^{-1}x$

$\Rightarrow (1+x^2)y_1={\tan }^{-1}x$

$\Rightarrow (1+x^2)y_2+2x{y}_1=\frac{1}{1+x^2}$

$\Rightarrow {(1+x^2)}^2{y}_2+2(1+x^2)y_1=1$ (প্রমাণিত)