সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: g(x)=x+25x−1(x≠15)দৃশ্যকল্প-২: ∫x=−x2−6x+16…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{x+2}{5x-1}(x\ne \frac{1}{5})$

ধরি, $x_1,x_2\in R$, এবং $x_1\ne x_2$

যদি $g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$ হয়, তবে

$\frac{x_1+2}{5x_1-1}=\frac{x_2+2}{5x_2-1}$

বা, $5x_1{x}_2-x_1+10x_2-2=5x_1{x}_2-x_2+10x_1-2$

বা, $10x_1+x_1-10x_2+x_2$

বা, $11x_1=11x_2$

$\therefore x_1=x_2$

$\therefore g\left(x\right)$ ফাংশনটি এক-এক

আবার ধরি, $y=g\left(x\right)=\frac{x+2}{5x-1}$

বা, $x+2=5\mathrm{xy}-y$

বা, $x=\frac{y+2}{5y-1}$

এখন, $g\left(x\right)=g\left(\frac{y+2}{5y-1}\right)$

$=\frac{\frac{y+2}{5y-1}+2}{5\left(\frac{y+2}{5y-1}\right)-1}=\frac{\frac{y+2+10y-2}{5y-1}}{\frac{5y+10-5y+1}{5y-1}}=\frac{10y}{11}=y$

$\therefore g\left(x\right)=y$

$\therefore g\left(x\right)$ ফাংশনটি সার্বিক।

সুতরাং, $g\left(x\right)$ ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক।

আবার, $y=g\left(x\right)$

বা, $g^{-1}\left(y\right)=x=\frac{y+2}{5y-1}[x=\frac{y+2}{5y-1}]$

বা, $g^{-1}\left(x\right)=\frac{x+2}{5x-1}$

$\therefore g^{-1}\left(x\right)=\frac{x+2}{5x-1}$

মনে করি, $y=f\left(x\right)=\sqrt{-x^2-6x+16}$

$x$ এর বাস্তব মানের জন্য, $f\left(x\right)\ge 0$

বা, $\sqrt{-x^2-6x+16}\ge 0$

বা, $-x^2-6x+16\le 0$

বা, $(x+8)(x-2)\le 0$

$\therefore -8\le x\le 2$

$-8\le x\le 2$ ব্যবধিতে $x$ এর কয়েকটি মানের জন্য $y$ এর মানসমূহ নিম্নরূপ :

এখন, ছক কাগজে $x$ অক্ষ ও $y$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে $(-8,0),(-7,3),(-6,4),(-3,5),(0,4),(1$, 3), $(2,0)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করি।

বিন্দুগলো যোগ করে,

$y=f\left(x\right)=\sqrt{-x^2-6x+16}$

বক্ররেখার লেখচিত্র পাই।