সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:যেখানে OA=OS=1দৃশ্যকল্প-২ :…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$\mathrm{OA}=\mathrm{OS}=1$

∴ উপকেন্দ্র (S) এর স্থানাঙ্ক $=(-1,0)$
নিয়ামক MZN' এর সমীকরণ, $x=3$

$\therefore x-3=0$

ধরি, পরাবত্তের উপরস্থিত কোনো বিন্দু P(x,y)
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM
বা, $\sqrt{(x+1{)}^2+(y-0{)}^2}=\frac{|x-3|}{\sqrt{1^2+0^2}}$ বা, $(x+1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $x^2+2x+1+y^2=x^2-6x+9$
বা, $y^2=-8x+8$
$y^2+8x-8=0$; ইহাই নির্ণয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার, $y^2+8x-8=0$
বা, $y^2=-8x+8$

$\therefore y^2=-8(x-1)\text{; }$

বা, $y^2=4\mathrm{ax}$ আকারের।
∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=|4a|=|-8|=8$ একক
নির্ণেয় পরাবৃত্তর সমীকরণ, $y^2+8x-8=0$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ৪ একক।

চিত্র হতে, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $S(3,-1)$ ও $S^{\prime }(1,-1)$
∴ উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, $\alpha ,\beta =(\frac{3+1}{2},\frac{-1-1}{2})$

$=(2,-1)$

এখন, উপবৃত্তের কেন্দ্র $(2,-1)$ এবং বৃহৎ অক্ষ x -অক্ষের সমান্তরাল বিশিল্ট উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-2{)}^2}{a^2}+\frac{(y+1{)}^2}{b^2}=1$

এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$\text{ 2. }\mathrm{ae}=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1+1{)}^2}$

বা, $2\mathrm{ae}=\sqrt{2^2+0}$
বা, $2\mathrm{ae}=2$

$\therefore ae=1$

এখন, উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ( $\pm a+\alpha ,\beta$ )

$=(\pm a+2,-1)$
$=(2-a,-1),(a+2,-1)$

$(3,-1)$ থেকে $(2-a,-1)$ বিন্দুর দূরত্ব

$=\sqrt{(3-2+a{)}^2+(-1+1{)}^2}$
$=\sqrt{(1+a{)}^2+0}=a+1$

Misplaced &
$=\sqrt{(1-a{)}^2+0}$
$=\sqrt{(a-1{)}^2}=a-1$

প্রশ্নমতে, $(a+1)(a-1)=4$
বা, $a^2-1=4$
বা, $a^2=5$

$\therefore a=\sqrt{5}$

আবার, (2) নং হতে পাই,

$e=\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
বা, $1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$ [বর্গ করে]
বা, $1-\frac{b^2}{5}=\frac{1}{5}$
বা, $\frac{5-b^2}{5}=\frac{1}{5}$
বা, $5-b^2=1$
বা, $b^2=5-1$
বা, $b^2=4$

$\therefore b=2$

(1) নং সমীকরণে a ও b এর মান বসিয়ে পাই, $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$ ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।