সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : :…’ ঝালকাঠি সরকারি কলেজ ২০২৫ – বিন্যাস ও সমাবেশ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ

$x^2+y^2-4x+8y-16=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+2(-2)x+2.4y-16=0$

এখানে, $g=-2,f=4,c=-16$

বৃত্তটির কেন্দ্র $(2,-4)$

ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2(-16)}$

$=\sqrt{4+16+16}$

$=\sqrt{36}$

$=6$

প্রদত্ত জ্যা এর সমীকরণ,

$4x+3y+26=0-\left(i\right)$

নির্ণেয় স্পশ্রক (i) নং জ্যা এর উপর লম্ব,

স্পর্শকের সমীকরণ,

$3x-4y+K=0-($ ii $)$

কেন্দ্র $(2,-4)$ হরেত (ii) নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$\Rightarrow \left|\frac{3.2-4(-4)+K}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\right|=6$

$\Rightarrow \left|\frac{6+16+K}{\sqrt{25}}\right|=6$

$\Rightarrow \left|\frac{22+K}{5}\right|=6$

$\Rightarrow 22+K=\pm 30$

$\Rightarrow K=\pm 30-22$

(+) নিয়ে, (–) নিয়ে,

$\therefore K=8K=-52$

(ii) নং সমীকরনে $k=8$ বमिয়ে, $3x-4y+8=0$

আবার, K = - 52 বসিয়ে,

$3x-4y-52=0$

$\therefore$ निর্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $3x-4y+8=0$

$3x-4y-52=0$

বৃত্তটি দ্বারা y অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমান ও নির্ণয় কর।

$(1,2)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত, x অক্ষের স্পপর্শ করে,

$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = কেন্দের $y$ স্থানাঙ্ক

$\therefore$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ $r=2$

এখন,

$(1,2)$ কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$

$\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=4$

$\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+1=0-\left(i\right)$

(i) নং সমীকরণকে $x^2+y^2+2gx+2fy+c=o$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, $f=-2,g=-1,c=1$

(i) নং দ্বারা y অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য,

$=2\sqrt{f^2-c}=2\sqrt{(-2{)}^2-1}=2\sqrt{3}$ একক।

$\therefore$ বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2-2x-4y+1=0$

এবং অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{3}$ একক।