সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: কোনো বিন্দুতে…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, P এবং 3P বলদ্বয় α কোণে ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি P এর সাথে কোণ উৎপন্ন করে।

$\therefore \tan \theta =\frac{3P\sin \alpha }{P+3P\cos \alpha }$

আবার, বলদ্বয় 4P এবং 3P + 18 হলে,

$\tan \theta =\frac{(3P+18)\sin \alpha }{4P+(3P+18)\cos \alpha }$

শর্তমতে, $\frac{3P\sin \alpha }{P+3P\cos \alpha }=\frac{(3P+18)\sin \alpha }{4P+(3P+18)\cos \alpha }$
বা, $\frac{3P}{P+3P\cos \alpha }=\frac{3P+18}{4P+18\cos \alpha +3P\cos \alpha }$
বা, $\frac{4P+18\cos \alpha +3P\cos \alpha }{P+3P\cos \alpha }=\frac{3P+18}{3P}$
বা, $\frac{4P+18\cos \alpha +3P\cos \alpha -P-3P\cos \alpha }{P+3P\cos \alpha }$

$=\frac{3P+18-3P}{3P}$ [বিয়োজন করে]

বা, $\frac{3P+18\cos \alpha }{P+3P\cos \alpha }=\frac{18}{3P}$
বা, $\frac{3P+18\cos \alpha }{P(1+3\cos \alpha )}=\frac{18}{3P}$
বা, $\frac{3P+18\cos \alpha }{1+3\cos \alpha }=6$
বা, $3P+18\cos \alpha =6+18\cos \alpha$
বা, $3P=6$

∴ P = 2 (Ans.)

A বিন্দুতে P₁ = 4 একক ও B বিন্দুতে P₂ = 6 একক বল ক্রিয়া করছে।

ধরি, তাদের লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়ারত যার মান P₁ + P₂

∴ P₁ AC = P₂ BC.

বা, 4AC = 6BC.

∴ 2AC = 3BC ...... (i)

আবার, P₁ ও P₂  বলদ্বয়ের সাথে 2 একক বল যোগ করা হলে নতুন বলদ্বয় হবে, 6 একক ও ৪ একক। ধরি, এর ফলে বল দুইটির লব্ধি C বিন্দু হতে এ দূরত্বে D বিন্দুতে সরে যায়।

$\begin{array}{cc}& \therefore CD=d\\ & \therefore 6AD=8BD.\end{array}$

বা, $6(\mathrm{AC}-\mathrm{CD})=8(\mathrm{BC}+\mathrm{CD})$
বা, $6(\mathrm{AC}-d)=8(\mathrm{BC}+d)$
বা, $6\mathrm{AC}-6d=8\mathrm{BC}+8d$
বা, $6\mathrm{AC}-8\mathrm{BC}=8d+6d$
বা, $3.2\mathrm{AC}-8\mathrm{BC}=14d$
বা, 3. $3\mathrm{BC}-8\mathrm{BC}=14d$. [(i) নং হতে]
বা, $9BC-8BC=14d$
বা, $BC=14d$

$\therefore d=\frac{\mathrm{BC}}{14}$ ......... (ii)

আবার, (i) হতে পাই,

2AC = 3BC

বা, $2(\mathrm{AB}-\mathrm{BC})=3\mathrm{BC}$
বা, $2AB-2BC=3BC$
বা, $2\mathrm{AB}=5\mathrm{BC}\therefore \mathrm{BC}=\frac{2}{5}\mathrm{AB}$

এই মান (ii) এ বসিয়ে, $d=\frac{\mathrm{BC}}{14}=\frac{1}{14}\times \frac{2}{5}\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{AB}}{35}$