সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: কোনো বিন্দুতে…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $U,V$ ও $W$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে।

$U$ ও $V$ এর অন্তর্গত কোণ $=2\alpha$
$\therefore U$ ও W এর অন্তর্গত কোণ $=\alpha$
V ও W এর অন্তর্গত কোণ $=2\pi -2\alpha -\alpha =2\pi -3\alpha$
সাম্যাবস্থায় লামির সূত্রানুসারে পাই,

$\frac{U}{\sin (2\pi -3\alpha )}=\frac{V}{\sin \alpha }=\frac{W}{\sin 2\alpha }$

বা, $\frac{U}{-\sin 3\alpha }=\frac{V}{\sin \alpha }=\frac{W}{\sin 2\alpha }$
বা, $\frac{U}{-(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha )}=\frac{V}{\sin \alpha }=\frac{W}{2\sin \alpha \cos \alpha }$
বা, $\frac{U}{\sin \alpha (4{\sin }^2\alpha -3)}=\frac{V}{\sin \alpha }=\frac{W}{2\sin \alpha \cos \alpha }$
বা, $\frac{U}{4{\sin }^2\alpha -3}=V=\frac{W}{2\cos \alpha }$ 

২য় ও ৩য় অনুপাত হতে, $V=\frac{W}{2\cos \alpha }$

বা $\cos \alpha =\frac{W}{2V}$

১ম ও ২য় অনুপাত হতে, $\frac{U}{4{\sin }^2\alpha -3}=V$

বা $\frac{U}{V}=4{\sin }^2\alpha -3=4(1-{\cos }^2\alpha )-3$ 

বা, $\frac{U}{V}=4-4{\cos }^2\alpha -3=1-4\cdot {\left(\frac{W}{2V}\right)}^2=1-4\cdot \frac{W^2}{4V^2}=1-\frac{W^2}{V^2}$
বা, $\frac{U}{V}=\frac{V^2-W^2}{V^2}$
বা, $U=\frac{V^2-W^2}{V}$
: $V^2-W^2=\mathrm{UV}$. (প্রমাণিত) 

$if$ এখন, $△\mathrm{ABC}$ এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $CO$ বরাবর $R$ মানের বলটি ক্রিয়ারত আছে। $R$ এর সমান্তরালে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এর অংশদ্বয় যথাক্রমে $P$ ও $Q$ । $O,A$ ও $0,B$ যোগ করি।

এখন, $P\cdot \mathrm{AD}=Q\cdot \mathrm{BD}$ 

বা, $P\cdot \frac{AD}{OD}=Q\cdot \frac{BD}{OD}$
বা, $P\cdot \frac{\frac{AD}{OA}}{\frac{OD}{OA}}=Q\cdot \frac{\frac{BD}{OB}}{\frac{OD}{OB}}$

বা, $P\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{AOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}=Q\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{OBD}}$
বা, $P\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{AOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}=Q\cdot \frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}$. [যেহেতু $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=$ পরিবৃত্তের
ব্যাসার্ধ। তাই $\angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{OBD}$ ]
বা, $P\cdot \sin \angle \mathrm{AOD}=Q\cdot \sin \angle \mathrm{BOD}$
বা, $\frac{P}{Q}=\frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{AOD}}=\frac{\sin (\pi -\angle \mathrm{BOC})}{\sin (\pi -\angle \mathrm{AOC})}$
বা, $\frac{P}{Q}=\frac{\sin \angle \mathrm{BOC}}{\sin \angle \mathrm{AOC}}=\frac{\sin 2\angle \mathrm{BAC}}{\sin 2\angle \mathrm{ABC}}[\because$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তম্ব কোণের দ্বিগুণ $]$
বা, $\frac{P}{Q}=\frac{\sin 2A}{\sin 2B}$
$\therefore P:Q=\sin 2A:\sin 2B$
$\therefore$$A$ ও $B$ বিন্দুতে $R$ বলের সমান্তরাল অংশকদ্বয়ের অনুপাত $\sin 2A:\sin 2B$. (দেখানো হলো)