সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : কোনো…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

১ম চিত্রে, $\alpha$ কোণে হেলানো তল $AB$ এর ওপর $C$ বিন্দুতে $W$ ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত $Q$ বল স্থির অবস্থায় রাখে। হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ $R_1$ হলে বল $R_1$, $Q$, $W$ ভারসাম্য সৃষ্টি করবে।

$R_1$ চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে। 

লামির সুত্রানুযায়ী $\frac{R_1}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{Q}{\sin ({180}^{\circ }-\alpha )}=\frac{W}{\sin ({90}^{\circ }+\alpha )}$

বা, $\frac{R_1}{1}=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{W}{\cos \alpha }$

এখন, $\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{W}{\cos \alpha }$

বা, $\frac{W}{Q}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

বা, $\frac{W}{Q}=\cot \alpha$

বা, $\frac{W^2}{Q^2}={\cot }^2\alpha$$......\left(i\right)$ 

২য় চিত্রে, হেলানো তলটির দৈর্ঘ্যের দিকে $P$ বল ক্রিয়াশীল হওয়ায় $W$ ওজনের বস্কুটি হেলানো তলটির ওপর স্থির অবস্থায় থাকে। বস্তুর চাপ $R_2$ হলে $R_2,P,W$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে এবং $R_2$ চাপ হেলানো তলের সাথে লম্বিক দিকে ক্রিয়াশীল থাকবে। 

লামির সূত্রানুযায়ী, $\frac{R_2}{\sin ({90}^{\circ }+\alpha )}=\frac{P}{\sin ({180}^{\circ }-\alpha )}=\frac{W}{\sin {90}^{\circ }}$

বা, $\frac{R_2}{\cos \alpha }=\frac{P}{\sin \alpha }=\frac{W}{1}$

এখন, $\frac{P}{\sin \alpha }=W$

বা, $\frac{W}{P}=\frac{1}{\sin \alpha }$

বা, $\frac{W}{P}=\mathrm{cosec}\alpha$

বা, $\frac{W^2}{P^2}={\mathrm{cosec}}^2\alpha$$.....\left(ii\right)$

$\left(ii\right)$ নং হতে $\left(i\right)$ নং বিয়োগ করে পাই,

$\frac{W^2}{P^2}-\frac{W^2}{Q^2}={\mathrm{cosec}}^2\alpha -{\cot }^2\alpha$

বা, $W^2(\frac{1}{P^2}-\frac{1}{Q^2})=1$

বা, $W^2\left(\frac{Q^2-P^2}{P^2{Q}^2}\right)=1$

বা, $W^2=\frac{P^2{Q}^2}{Q^2-P^2}$

$\therefore W=\frac{PQ}{\sqrt{Q^2-P^2}}$ (প্রমাণিত) 

মনে করি, OABC সামান্তরিকের O বিন্দুতে OA এবং OC বরাবর যথাক্রমে u ও v বেগ ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি w, OB বরাবর ক্রিয়ারত।

ধরি, $u$ ও $v$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\alpha$ এবং $u$ এর দিকও v 

w এর দিকের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ প্রশ্নমতে, u এর দিকে w এর লম্বাংশ $=v$

এখন, u এর দিক বরাবর বলগুলোর লম্বাংশ নিয়ে

$w\cos \theta =u+v\cos \alpha$

বা, $v=u+v\cos \alpha [\because w\cos \theta =v]$

বা, $v-v\cos \alpha =u$

বা, $v(1-\cos \alpha )=u$

বা, $2v{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=u$

বা, ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{u}{2v}$

বা, $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{u}{2v}}$

বা, $\frac{\alpha }{2}={\sin }^{-1}\sqrt{\frac{u}{2v}}$
$\therefore \alpha =2{\sin }^{-1}\sqrt{\frac{u}{2v}}$
আবার, $v=u+\cos \alpha$
বা, $v-u=v\cos \alpha$
বা, $\cos \alpha =\frac{v-u}{v}$
$\therefore \alpha ={\cos }^1\left(\frac{v-u}{v}\right)$
$\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{v-u}{v}\right)=2{\sin }^{-1}\sqrt{\frac{u}{2v}}$