সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, e = 1

∴ কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(5, 2), শীর্ষবিন্দু A(3, 4), নিয়ামকরেখা MZM', Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β), পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y), যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A 

সেহেতু $3=\frac{\alpha +5}{2}$
বা, $\alpha +5=6$
বা, $\alpha =6-5$
বা, $\alpha =1$ এবং $4=\frac{\beta +2}{2}$
বা, $\beta +2=8$
বা,  $\beta =8-2$
বা, $\beta =6$

∴ Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 6)

অক্ষরেখা AS এর ঢাল $=\frac{4-2}{3-5}=\frac{2}{-2}=-1$

∴  নিয়ামক রেখা MZM' এর ঢাল $=-\frac{1}{-1}=1$

নিয়ামক র্রেথা MZM' এর্র সমীকর্রণ, $y-6=1\cdot (x-1)$
বা,  $y-6=x-1$
বা, $x-1-y+6=0$ বा, $x-y+5=0$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM

বা, $\sqrt{(x-5{)}^2+(y-2{)}^2}=\left|\frac{x-y+5}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\right|$
বা,  $(x-5{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(x-y+5{)}^2}{1+1}$
বা, $x^2-10x+25+y^2+4y+4=\frac{x^2+y^2+25-2xy-10y+10x}{2}$
বা, $x^2-10x+y^2-4y+29=\frac{x^2+y^2+25-2xy-10y+10x}{2}$
বা, $2x^2-20x+2y^2-8y+58=x^2+y^2+25-2xy-10y+10x$
বা, $2x^2-20x+2y^2-8y+58-x^2-y^2-25+2xy+10y-10x=0$
বা,  $x^2+2xy+y^2-30x+2y+33=0$
বা,  $(x+y{)}^2-30x+2y+33=0$

∴ কণিকের সমীকরণ (x+y)²-30x+2y+33-0

প্রদত্ত সমীকরণ,

$6x^2+4y^2-36x-4y+43=0$

বা, $6(x^2-6x+9)+4(y^2-y+\frac{1}{4})+43-55=0$
বা, $6(x-3{)}^2+4{(y-\frac{1}{2})}^2-12=0$
বা, $6(x-3{)}^2+4{(y-\frac{1}{2})}^2=12$
বা, $\frac{(x-3{)}^2}{2}+\frac{{(y-\frac{1}{2})}^2}{3}=1$
বা, $\frac{(x-3{)}^2}{(\sqrt{2}{)}^2}+\frac{{(y-\frac{1}{2})}^2}{(\sqrt{3}{)}^2}=1$
বা, $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$; যেখানে $X=x-3,Y=y-\frac{1}{2},a=\sqrt{2}$,

$b=\sqrt{3}$ অর্থাৎ $a<b$

$\therefore$সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা,

$\begin{array}{cc}e& =\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\\ & =\sqrt{1-\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}{)}^2}}\\ & =\sqrt{1-\frac{2}{3}}\\ & =\sqrt{\frac{3-2}{3}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

এবং $Y=\pm$ be
বা, $y-\frac{1}{2}=\pm \sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
বা, $y-\frac{1}{2}=\pm 1$,
বা, $y=\pm 1+\frac{1}{2}$
বা, $y=-\frac{1}{2},\frac{3}{2}$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $(3,\frac{-1}{2})$ ও $(3,\frac{3}{2})$

নিয়ামকের সমীকরণ,

$Y=\pm \frac{b}{e}$

বা, $y-\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$
বা,  $y-\frac{1}{2}=\pm 3$
বা, $\frac{2y-1}{2}=\pm 3$
বা,  $2y-1=\pm 6$
বা, $2y-1\pm 6=0$
$\therefore 2y-7=0$ এবং $2y+5=0$

$\therefore$ উপকেন্দ্র  $(3,-\frac{1}{2})B(3,\frac{3}{2})$ এবং নিয়ামকের সমীকরণ $2y-7=0$