সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : m=aω2+cω4…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$m=a{\omega }^2+c{\omega }^4=a{\omega }^2+c\omega [\because {\omega }^3=1\Rightarrow {\omega }^4=\omega ]$

$n=a{\omega }^4+c{\omega }^2=a\omega +c{\omega }^2$

এখন,

$m+n=(a{\omega }^2+c\omega )+(a\omega +c{\omega }^2)$

$=a({\omega }^2+\omega )+c(\omega +{\omega }^2)$

$=a(-1)+c(-1)[\because 1+\omega +{\omega }^2=0\Rightarrow \omega +{\omega }^2=-1]$

$=-(a+c)$

আবার,

$mn=(a{\omega }^2+c\omega )(a\omega +c{\omega }^2)$

$=a^2{\omega }^3+ac{\omega }^4+ac{\omega }^2+c^2{\omega }^3$

$=a^2\left(1\right)+ac\omega +ac{\omega }^2+c^2\left(1\right)[\because {\omega }^3=1]$

$=a^2+ac(\omega +{\omega }^2)+c^2$

$=a^2+ac(-1)+c^2$

$=a^2-ac+c^2$

প্রশ্নমতে,

$m^3+n^3=0$

$\Rightarrow (m+n)(m^2-mn+n^2)=0$

$\Rightarrow (m+n)\left\{\right(m+n{)}^2-2mn-mn\}=0$

$\Rightarrow (m+n)\left\{\right(m+n{)}^2-3mn\}=0$

$\Rightarrow -(a+c)\{-(a+c{)}^2-3(a^2-ac+c^2)\}=0$  মান বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow -(a+c)\{a^2+2ac+c^2-3a^2+3ac-3c^2\}=0$

$\Rightarrow (a+c)(-2a^2+5ac-2c^2)=0[$ উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে $]$

$\Rightarrow (a+c)(2a^2-5ac+2c^2)=0[$ পুনরায় $-1$ দ্বারা গুণ করে $]$

$\Rightarrow (a+c)(2a^2-4ac-ac+2c^2)=0$

$\Rightarrow (a+c)\left\{2a\right(a-2c)-c(a-2c\left)\right\}=0$

$\Rightarrow (a+c)(a-2c)(2a-c)=0$

হয়, $a+c=0$

অথবা, $a-2c=0\Rightarrow a=2c$

অথবা, $2a-c=0\Rightarrow 2a=c$

অতএব, $a+c=0$ অথবা $2a=c$ অথবা $a=2c$  (প্রমাণিত)

[বি.দ্র.: প্রশ্নে দৃশ্যকল্প-২ এর ডানপক্ষের শেষপদ $b^m{y}^m$ এর পরিবর্তে $b_m{y}^m$ হবে]

দেওয়া আছে,

$(1+y{)}^m=b_0+b_{1}y+b_2{y}^2+b_3{y}^3+\dots \dots +b_m{y}^m\dots \dots (i)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণে $y=1$ বসিয়ে পাই,

$(1+1{)}^m=b_0+b_1(1)+b_2(1{)}^2+b_3(1{)}^3+\dots \dots +b_m(1{)}^m$

$\Rightarrow 2^m=b_0+b_1+b_2+b_3+\dots \dots +b_m\dots \dots \left(ii\right)$

আবার, $\left(i\right)$ নং সমীকরণে $y=i$ বসিয়ে পাই,

$(1+i{)}^m=b_0+b_1(i)+b_2(i{)}^2+b_3(i{)}^3+b_4(i{)}^4+\dots \dots$

$\Rightarrow (1+i{)}^m=b_0+i{b}_1-b_2-i{b}_3+b_4+\dots \dots [\because i^2=-1,i^3=-i,i^4=1]$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করে পাই,

$\Rightarrow (1+i{)}^m=(b_0-b_2+b_4-\dots )+i(b_1-b_3+b_5-\dots )\dots \dots (iii)$

একইভাবে, $\left(i\right)$ নং সমীকরণে $y=-i$ বসিয়ে পাই,

$(1-i{)}^m=b_0+b_1(-i)+b_2(-i{)}^2+b_3(-i{)}^3+b_4(-i{)}^4+\dots \dots$

$\Rightarrow (1-i{)}^m=b_0-i{b}_1-b_2+i{b}_3+b_4-\dots \dots$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করে পাই,

$\Rightarrow (1-i{)}^m=(b_0-b_2+b_4-\dots )-i(b_1-b_3+b_5-\dots )\dots \dots (iv)$

এখন, $\left(iii\right)$ এবং $\left(iv\right)$ নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

$(1+i{)}^m\cdot (1-i{)}^m=\left\{\right(b_0-b_2+b_4-\dots )+i(b_1-b_3+b_5-\dots \left)\right\}\times \left\{\right(b_0-b_2+b_4-\dots )-i(b_1-b_3+b_5-\dots \left)\right\}$

$\Rightarrow \left\{\right(1+i\left)\right(1-i){\}}^m=(b_0-b_2+b_4-\dots {)}^2-i^2(b_1-b_3+b_5-\dots {)}^2$

$\Rightarrow (1^2-i^2{)}^m=(b_0-b_2+b_4-\dots {)}^2-(-1)(b_1-b_3+b_5-\dots {)}^2[\because i^2=-1]$

$\Rightarrow \{1-(-1){\}}^m=(b_0-b_2+b_4-\dots {)}^2+(b_1-b_3+b_5-\dots {)}^2$

$\Rightarrow 2^m=(b_0-b_2+b_4-\dots {)}^2+(b_1-b_3+b_5-\dots {)}^2\dots \dots \left(v\right)$

এখন, সমীকরণ $\left(ii\right)$ এবং $\left(v\right)$ তুলনা করে পাই,

$(b_0-b_2+b_4-\dots {)}^2+(b_1-b_3+b_5-\dots {)}^2=b_0+b_1+b_2+\dots +b_m=2^m$

$\therefore (b_0-b_2+b_4-\dots \dots {)}^2+(b_1-b_3+b_5-\dots \dots {)}^2=b_0+b_1+b_2+\dots \dots +b_m=2^m$ (দেখানো হলো)