সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : mcot−1⁡x=cot−1⁡yদৃশ্যকল্প-২…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $m{\cot }^{-1}x={\cot }^{-1}y$

বা, $y=\cot (m{\cot }^{-1}x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\cot (m{\cot }^{-1}x)$

বা, $y_1=-{\mathrm{cosec}}^2(m{\cot }^{-1}x)\cdot \frac{-m}{1+x^2}$

$={\mathrm{cosec}}^2(m{\cot }^{-1}x)\cdot \frac{m}{1+x^2}$

$=(1+{\cot }^2(m{\cot }^{-1}x)\cdot \frac{m}{1+x^2}$

$[\because {\mathrm{cosec}}^2\theta =1+{\cot }^2\theta ].$

বা, $(1+x^2)y_1=m(1+y^2)$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$(1+x^2)y_2+y_1\cdot (0+2x)=m(0+2y{y}_1)$

বা, $(1+x^2)y_2+2x{y}_1=2my{y}_1$

বা, $(1+x^2)y_2+2x{y}_1-2my{y}_1=0$

$\therefore (1+x^2)y_2-2(\mathrm{my}-x)y_1=0$ (প্রমাণিত)

ধরি, $y=f\left(x\right)=x-x^2-x^3$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x-x^2-x^3)$

বা, $\frac{dy}{dx}=1-2x-3x^2$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0-2-6x$

$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2-6x$

চরম মানের জন্য, $\frac{dy}{dx}=0$

বা, $1-2x-3x^2=0$

বা, $3x^2+2x-1=0$

বা, $3x^2+3x-x-1=0$

বা, $3x(x+1)-1(x+1)=0$

বা, $(x+1)(3x-1)=0$

বা, $x=-1,\frac{1}{3}$

এখন, $x=\frac{1}{3}$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=-2-6\times \frac{1}{3}=-4<0$ ।

সুতরাং $x=\frac{1}{3}$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান, $y_{\text{max }}=\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^3$

$=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}-\frac{1}{27}=\frac{9-3-1}{27}=\frac{5}{27}$

আবার, $x=-1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=-2-6(-1)=4>0$।

সুতরাং $x=-1$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান, $y_{\text{min }}=-1-(-1{)}^2-(-1{)}^3=-1-1+1=-1$

$\therefore f\left(x\right)$ এর সর্বোচ্চমান ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে $\frac{5}{27}$ এবং - 1।