সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : M=x−1logp⁡(qr)=y−1logq⁡(pr)=z−1logr⁡(pq).…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$M=\frac{x-1}{{\log }_p\left(qr\right)}=\frac{y-1}{{\log }_q\left(pr\right)}=\frac{z-1}{{\log }_r\left(pq\right)}$

শর্তমতে, $M=1$

বা, $\frac{x-1}{{\log }_p\left(qr\right)}=1$

বা, $x-1={\log }_p\left(qr\right)$

বা, $x=1+{\log }_p\left(\mathrm{qr}\right)$

বা, $x={\log }_{p}p+{\log }_p\left(\mathrm{qr}\right)$

বা, $x={\log }_p\left(\mathrm{pqr}\right)$

বা, $p^x=\mathrm{pqr}$

বা, ${\left(p^x\right)}^{\frac{1}{x}}=(\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{x}}$

বা, $p=(pqr{)}^{\frac{1}{x}}$

আবার, $\frac{y-1}{{\log }_q\left(pr\right)}=1$

বা, $y-1={\log }_q\left(pq\right)$

বা, $y=1+{\log }_q\left(\mathrm{pr}\right)$

বা, $y={\log }_{q}q+{\log }_q\left(\mathrm{pr}\right)$

বা, $y={\log }_q\left(\mathrm{pqr}\right)$

বা, $q^y=\mathrm{pqr}$

বা, ${\left(q^y\right)}^{\frac{1}{y}}=(pqr{)}^{\frac{1}{y}}$

বা, $q=(\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{y}}$

আবার, $\frac{z-1}{{\log }_r\left(\mathrm{pq}\right)}=1$

বা, $z-1={\log }_r\mathrm{pq}$

বা, $z=1+{\log }_r\mathrm{pq}$

বা, $z={\log }_{r}r+{\log }_r\mathrm{pq}$

বা, $z={\log }_r\left(\mathrm{pqr}\right)$

বা, $r^2=\mathrm{pqr}$

বা, ${\left(r^2\right)}^{\frac{1}{2}}=(\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{2}}$

বা, $r=(pqr{)}^{\frac{1}{2}}$

এখন, $\mathrm{pqr}=(\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{x}}\cdot (\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{y}}\cdot (\mathrm{pqr}{)}^{\frac{1}{z}}$.

বা, $(pqr{)}^1=(pqr{)}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

বা, $\frac{yz+zx+xy}{xyz}=1$

বা, $xy+yz+zx=xyz$

$\therefore \mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}-\mathrm{xyz}=0$ (প্রমাণিত)

গ্র দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, $f\left(x\right)=\ln \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore f\left(x\right)\in R$ হবে যদি, $\frac{3-x}{3+x}>0$ হয়।

এখন, $\frac{3-x}{3+x}>0$ হবে যদি,

(i) $3-x>0$ ও $3+x>0$ হয় অথবা,

(ii) $3-x<0$ ও $3+x<0$ হয়

(i) নং হতে পাই, $-x>-3$ এবং $x>-3$

বা, $x<3$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x<3\}\cap \{x\in R:x>-3\}$

$=(-\infty ,3)\cap (-3,\infty )=(-3,3)$

(ii) নং হতে পাই, $-x<-3$ এবং $x<-3$

বা, $x>3$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x>3\}\cap \{x\in R:x<-3\}$ 

$=(3,\infty )\cap (-\infty ,-3)=\varnothing$

$\therefore f\left(x\right)$ এর ডোমেন, $D_f=(-3,3)\cup \varnothing$

$=(-3,3)$

ধরি, $f\left(x\right)=y=\ln \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$

এখন, $f\left(x\right)=y$

বা, $f^{-1}f\left(x\right)=f^{-1}\left(y\right)$

∴ $x=f^{-1}\left(y\right)$

আবার $y=\ln \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$

বা, $e^y=\frac{3-x}{3+x}$

বা, $3e^y+x{e}^y=3-x$

বা, $x{e}^y+x=3-3e^y$

বা, $x(1+e^y)=3(1-e^y)$

বা, $x=\frac{3(1-e^y)}{1+e^y}$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=3\left(\frac{1-e^y}{1+e^y}\right)$

$\therefore f^{-1}\left(x\right)=3\left(\frac{1-e^x}{1+e^x}\right)$

যাহা একটি সূচক ফাংশন। আমরা জানি, সূচক ফাংশন একটি এক এক ফাংশন। সুতরাং $f\left(x\right)$ এর বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান।