সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :OA=OBদৃশ্যকল্প-২: 4x−3y+1=0…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ, $x\cos \alpha +y\sin \alpha =5$.

বা, $x\cos \angle \mathrm{AOC}+y\sin \angle \mathrm{AOC}=5$

এখানে, $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$

$\therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}={45}^{\circ }$

এবং $\mathrm{OC}\perp \mathrm{AB}$.

$\therefore \angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{AOC}={45}^{\circ }$

$\therefore x\cos {45}^{\circ }+y\sin {45}^{\circ }=5$

বা, $x\frac{1}{\sqrt{2}}+y\frac{1}{\sqrt{2}}=5$

বা, $x+y=5\sqrt{2}$

অর্থাৎ $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ $x+y=5\sqrt{2}$

$\mathrm{AB}$ এর ওপর লম্ব $\mathrm{OC}$ রেখার সমীকরণ, $x-y+k=0$

(i)নং রেখাটি $(0,0)$ বিন্দুগামী।

$\therefore 0-0+k=0$ বা, $k=0$

এর$k-এর$ মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x-y+0=0$

$\therefore x-y=0$

নির্ণেয় OC রেখার সমীকরণ, $x-y=0$.

প্রদত্ত রেখাদ্বয়, $4x-3y+1=0$ ......... (i)

এবং $3x+4y+8=0\dots \left(ii\right)$

(i)নং ও (ii)নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ।

$\frac{4x-3y+1}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\pm \frac{3x+4y+8}{\sqrt{3^2+4^2}}$

বা, $4x-3y+1=\pm (3x+4y+8)$

এখানে, $a_1{a}_2+b_1{b}_2=4.3+(-3),4=12-12=0$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই, $4x-3y+1=3x+4y+8$

বা, $x-7y=7$

বা, $\frac{x}{7}+\frac{y}{-1}=1$

রেখাটি $x$-অক্ষকে $(7,0)$ এবং $y$-অক্ষকে $(0,-1)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore$ সমদ্বিখণ্ডকটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 7& 0& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times (0+7)$ বर्গ একक $=\frac{7}{2}$ বर्গ একक $=3\frac{1}{2}$ বर्গ একक

আবার, (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$4x-3y+1=-(3x+4y+8)$

বা, $4x-3y+1=-3x-4y-8$

বা, $7x+y=-9$

বা, $\frac{x}{-\frac{9}{7}}+\frac{y}{-9}=1$.

রেখাটি $x$-অক্ষকে $(\frac{-9}{7},0)$ এবং $y$-অক্ষকে $(0,-9)$ বিন্দুতে ছেদ করে

$\therefore$ সমদ্বিখণ্ডকটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ \frac{-9}{7}& 0& 1\\ 0& -9& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক।

$=\frac{1}{2}\{(-\frac{9}{7})\times (-9)-0\}$ বর্গ একক।

$=\frac{1}{2}\times \frac{81}{7}=\frac{81}{14}$ বর্গ একক $=5\frac{11}{14}$ বর্গ একক।

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $3\frac{1}{2}$ বর্গ একক অথবা $5\frac{11}{14}$ বর্গএকক।