সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : P(1,2),Q(2,3)…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P(1,2),Q(2,3)$ ও $R(-a,-1)$ তিনটি বিন্দু।

$△\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল 4 বর্গ একক হলে,

$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ -a& -1& 1\end{array}\right|=4$

বা, $1(3+1)-2(2+a)+1(-2+3a)=8$

বা, $4-4-2a-2+3a=8$

বা, $a-2=8$

বা, $a=10$

$\therefore R(-10,-1)$

PQ রেখার ঢাল $=\frac{3-2}{2-1}=\frac{1}{1}=1$

PQ রেখার লম্বরেখার ঢাল, $m=\frac{-1}{1}=-1$

এখন, $R(-10,-1)$ বিন্দুগামী ও $-1$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y+1=-(x+10)$

বা, $y+1=-x-10$

$\therefore x+y+11=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+y+11=0$.

প্রদত্ত রেখাদ্বয় :

$3x-y-2=0\dots \left(i\right)$

এবং $x+y-2=0$ ........ (ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$4x-4=0$

বা, $4x=4$

$\therefore x=1$

(ii) নং এ সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1+y-2=0$

বা, $y=1$

$\therefore$ (i) নং ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু $(1,1)$

(i) ও (ii) রেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ $\phi$ হলে,

$\tan \phi =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|$

$=\left|\frac{3-(-1)}{1+3.(-1)}\right|=\left|\frac{4}{-2}\right|=|-2|$

বা, $\tan \phi =2$

$\therefore \phi ={\tan }^{-1}2$

প্রতিবিম্ব রেখাটি $(1,1)$ বিন্দুগামী যা (i) নং রেখার সাথে ${\tan }^{-1}2$

কোণ উৎপন্ন করে।

আবার, (i) নৎ রেখার ঢাল, $\tan {\theta }_1=3$

বা, ${\theta }_1={\tan }^{-1}3$

$\therefore$ প্রতিবিম্ব রেখার $x$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ

$\theta ={\tan }^{-1}3-{\tan }^{-1}2={\tan }^{-1}\frac{3-2}{1+3.2}={\tan }^{-1}\frac{1}{7}$

বা, $\tan \theta =\frac{1}{7}$

$\therefore$ প্রতিবিম্ব রেখার ঢাল, $\tan \theta =\frac{1}{7}$

এখন, $(1,1)$ বিন্দুগামী ও $\frac{1}{7}$ ঢালবিশিন্ট রেখার সমীকরণ,

$y-1=\frac{1}{7}(x-1)$

বা, $7y-7=x-1$

বা, $x-7y+6=0$

নির্ণেয় প্রতিবিম্ব রেখার সমীকরণ, $x-7y+6=0$.