সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: P ও…’ ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-২ হতে পাই,
মনে করি, $F_1$ ও  $F_2$ মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে  $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। 'বলদ্বয়ের  লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

$\therefore F_1\cdot \mathrm{AC}=F_2\cdot \mathrm{BC}$

বা, $F_1\cdot \mathrm{AC}=F_2(\mathrm{AB}-\mathrm{AC})$ বা, $\frac{F_1}{F_2}=\frac{\mathrm{AB}-\mathrm{AC}}{\mathrm{AC}}$
বা, $\frac{F_1+F_2}{F_2}=\frac{\mathrm{AB}-\mathrm{AC}+\mathrm{AC}}{\mathrm{AC}}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{F_1+F_2}{F_2}=\frac{AB}{AC}\therefore AC=\frac{F_2}{F_1+F_2}\cdot AB$
দূরত্বে , মনে করি, $F_1$ এর ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে  $d$
$\therefore F_1\cdot A^{\prime }D=F_2\cdot BD$
বা, $F_1(A{A}^{\prime }+AD)=F_2(AB-AD)$
বা, $F_1\cdot {\mathrm{AA}}^{\prime }+F_1\cdot \mathrm{AD}=F_2\cdot \mathrm{AB}-F_2\cdot \mathrm{AD}$
বা, $F_{1}d+F_1\cdot AD=F_2\cdot \mathrm{AB}-F_2\cdot {\mathrm{AD}}^2$

বা, $(F_1+F_2)AD=F_2\cdot AB-F_{1}d$

$\therefore AD=\frac{F_2\cdot AB-F_{1}d}{F_1+F_2}$

এখন, লব্ধির সরণ  $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}-\mathrm{AD}$

$=\frac{F_2\cdot AB}{F_1+F_2}-\frac{F_2\cdot AB-F_{1}d}{F_1+F_2}\left[\right(i)$ ও $\left(ii\right)$ নং হতে পাই$]$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{F_2\cdot AB}{F_1+F_2}-\frac{F_2\cdot AB}{F_1+F_2}+\frac{F_{1}d}{F_1+F_2}\\ \therefore & CD=\frac{F_{1}d}{F_1+F_2}\end{array}$

অর্ধাৎ বলদ্বয়ের লব্ধি  $\frac{F_{1}d}{F_1+F_2}$ দূরত্বে সরে যায়। (দেখানো হলো)

[ বি.দ্র: $F_1,F_2$ ও $d$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $P,Q$ ও $b$ হবে] 

$O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $W$ ওজনের গোলকটি একটি উল্লম্ব দেওয়ালের $B$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। ।$AC=।$ দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সুতার $C$ প্রান্ত গোলকের ওপর এবং $A$ প্রান্ত দেওয়ালে আটকানো আছে। গোলকের ওজন $W$ যা $OD$ বরাবর ক্রিয়াশীল। দেওয়ালের প্রতিক্রিয়া বল $R,BO$ বরাবর ক্রিয়াশীল। ধরি, সুতরাং টান $T,CA$ বরাবর ক্রিয়াশীল। $O$ বিন্দুতে $T,R,W$ বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে।

লামির উপপাদ্য অনুসারে,  

$\begin{array}{cc}& \frac{W}{\sin R^{\wedge }T}=\frac{R}{\sin T^{\wedge }W}=\frac{T}{\sin W^{\wedge }R}\\ \therefore & \frac{W}{\sin ({180}^{\circ }-\angle AOB)}=\frac{T}{\sin {90}^{\circ }}\end{array}$ 

বা, $\frac{W}{\sin \angle AOB}=T$
বা, $T=\frac{W}{\frac{AB}{OA}}=\frac{W\cdot OA}{AB}$
বা, $T=\frac{W(a+l)}{\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}}=\frac{W(a+l)}{\sqrt{(a+l{)}^2-a^2}}=\frac{W(a+l)}{\sqrt{a^2+2al+l^2-a^2}}$

$\therefore T=\frac{W(a+l)}{\sqrt{l^2+2al}}$ 

$\therefore$ সুতার টান $=\frac{W(a+l)}{\sqrt{l^2+2al}}$, (দেখানো হলো)