সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: P ও…’ বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, P ও $Q(P>Q)$ বলদ্বয়ের লব্ধি $=R$

আবার, OD, $\angle \mathrm{AOB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক। OD ও R এর মধ্যবর্তী কোণ $=\beta$.

লব্ধি $R,P$ এর সাথে $(\frac{\theta }{2}-\beta )$ কোণে ক্রিয়ারত।

P ও Q বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে আমরা পাই,,

$\phi =\alpha -(\frac{\theta }{2}-\beta )-(\frac{\theta }{2}-\beta )=2\beta$ বা, $\beta =\frac{\phi }{2}$

১ম ক্ষেত্রে: OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$R\cos \beta =P\cos \frac{\theta }{2}+Q\cos \frac{\theta }{2}=(P+Q)\cos \frac{\theta }{2}$ ........ (1)

২য় ক্ষেত্রে: OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$R\sin \beta =P\sin \frac{\theta }{2}+Q\sin (-\frac{\theta }{2})=(P-Q)\sin \frac{\theta }{2}$ ........ (2)

(2)নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, 

$\tan \beta =\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\theta }{2}\therefore \tan \frac{\phi }{2}=\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\theta }{2}$. (প্রমাণিত)

এখানে, ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। A, B, C কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখন্ডক তিনটি পরস্পর $I$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, $I$ হলো ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R বলের লব্ধি (Q+ R) বলটি BC রেখাস্থ D বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।

আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র। বিন্দুগামী। 

সুতরাং, I বিন্দু AD রেখার উপর অবস্থান করবে।

অর্থাৎ, AD রেখা A কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

$\therefore \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ ......... (1)

কিন্তু লব্ধি D বিন্দুগামী হওয়ায়, $Q.\mathrm{BD}=R.\mathrm{CD}$

বা, $\frac{BD}{CD}=\frac{R}{Q}$ ......... (2)

(1) ও (2)নং হতে পাই, $\frac{R}{Q}=\frac{AB}{AC}$ বা, $\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\frac{P}{\mathrm{BC}}=\frac{Q}{\mathrm{AC}}$

$\therefore \frac{P}{BC}=\frac{Q}{AC}=\frac{R}{AB}$ বা $,\frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c}$ .......... (3)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

(3) ও (4)নং হতে পাই, $\frac{P}{\sin A}=\frac{Q}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}$

$\therefore P:Q:R=\sin A:\sin B:\sin C$. (দেখানো হলো)