সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: P ও…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, P ও Q বল দুইটির অন্তর্গত কোণ $=3\alpha$ এবং P ও Q বলের লব্ধি $=R$

লব্ধি R, P এর সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করে। লব্ধির ক্রিয়ারেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে,

$R\cos 0^{\circ }=P\cos (-\alpha )+Q\cos \left(2\alpha \right)$

বা, $R=P\cos \alpha +Q\cos 2\alpha =P\cos \alpha +Q(2{\cos }^2\alpha -1)........\left(1\right)$

লব্ধির লম্ব বরাবর লম্বাংশ নিয়ে,

$R\sin 0^{\circ }=P\sin (-\alpha )+Q\sin 2\alpha$

বা, $0=-P\sin \alpha +Q(2\sin \alpha \cos \alpha )$

বা, $P\sin \alpha -2Q\sin \alpha \cos \alpha =0$

বা, $\sin \alpha (P-2Q\cos \alpha )=0$

বা, $P-2Q\cos \alpha =0$

বা, $2Q\cos \alpha =P$

বা, $\cos \alpha =\frac{P}{2Q}$

বা, $\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right)$

$\therefore 3\alpha =3{\cos }^{-1}\left(\frac{P}{2Q}\right)$

সমীকরণ (1) থেকে, $R=P\cdot \frac{P}{2Q}+2Q{\left(\frac{P}{2Q}\right)}^2-Q$

$=\frac{P^2}{2Q}+\frac{P^2}{2Q}-Q$

$=\frac{2P^2-2Q^2}{2Q}=\frac{P^2-Q^2}{Q},P>Q.$

$△\mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র O হতে $P,Q,R$ বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃন্টি করে। লামির উপপাদ্য অনুসারে,

$\frac{P}{\sin \angle \mathrm{BOC}}=\frac{Q}{\sin \angle \mathrm{AOC}}=\frac{R}{\sin \angle \mathrm{AOB}}\dots ...i$

বা, $\angle BOC+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}={180}^{\circ }[\because △ABC$ এর অন্তঃকেন্দ্র $O$ ]

বা, $\angle BOC={180}^{\circ }-\frac{1}{2}(B+C)$

বা, $\angle BOC={180}^{\circ }-\frac{1}{2}({180}^{\circ }-A)={90}^{\circ }+\frac{A}{2}$

অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{AOC}={90}^{\circ }+\frac{B}{2}$ এবং $\angle \mathrm{AOB}={90}^{\circ }+\frac{C}{2}$

∴ (i) নং হতে পাই,

$\frac{P}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{A}{2})}=\frac{Q}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{B}{2})}$

$=\frac{R}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{C}{2})}$

বা, $\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}}$

বা, $\frac{P^2}{{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{{\cos }^2\frac{C}{2}}$

বা, $\frac{P^2}{2{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{2{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{2{\cos }^2\frac{C}{2}}$

বা, $\frac{P^2}{1+\cos A}=\frac{Q^2}{1+\cos B}=\frac{R^2}{1+\cos C}$

বা, $\frac{P^2}{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}}=\frac{Q^2}{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2\mathrm{ca}}}$

$=\frac{R^2}{1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}}$

বা, $\frac{P^2}{\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{Q^2}{\frac{2ca+c^2+a^2-b^2}{2ca}}$

$=\frac{R^2}{\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

বা, $\frac{P^2}{a\left\{\right(b+c{)}^2-a^2\}}=\frac{Q^2}{b\left\{\right(c+a{)}^2-b^2\}}$

$=\frac{R^2}{c\left\{\right(a+b{)}^2-c^2\}}$

বা, $\frac{P^2}{a(a^{\prime }+b+c)(b+c-a)}$

$=\frac{Q^2}{b(a+b+c)(c+a-b)}$

$=\frac{R^2}{c(a+b+c)(a+b-c)}$

$\therefore \frac{P^2}{a(b+c-a)}=\frac{Q^2}{b(c+a-b)}=\frac{R^2}{c(a+b-c)}$ (প্রমাণিত)