সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: p ও…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

একটি অনড় বস্তু $\mathrm{AB}$ এর $A$ ও $B$ বিন্দুতে $P$ ও $Q$ দুইট সদৃশ সমান্তরাল বল কার্যরত। এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C।

$\therefore \text{ P. }\mathrm{AC}=Q.\mathrm{BC}$

বা, $P.AC=Q(AB-AC)$

বা, $\frac{P}{Q}=\frac{AB-AC}{AC}$

বা, $\mathrm{AC}=\frac{Q}{P+Q}\mathrm{AB}$ (1) [যোজন করে]

আবার, $P$ বিন্দুর ত্রিয়ারেখাকে সমান্তরাল রেখে $P$ এর ক্রিয়াবিন্দুকে $x$ দূরে $A^{\prime }$ বিন্দুতে সরালে ধরি লব্ধি C থেকে D বিন্দুতে সরে যায়।

$\therefore$ P. $A^{\prime }D=Q\cdot \mathrm{BD}$

বা, $P\cdot A^{\prime }D=Q(AB-AD)$

বা, $P(A{A}^{\prime }+AD)=Q\cdot AB-Q\cdot AD$

বা, $P\cdot x+P\cdot AD=Q\cdot AB-Q\cdot AD=Q\cdot (AB-$$AD)$

বা, $(P+Q)AD=Q\cdot AB-Px$

বা, $AD=\frac{Q\cdot AB-Px}{P+Q}$

এখন, $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}-\mathrm{AD}=\frac{Q}{P+Q}AB-\frac{Q\cdot AB}{P+Q}+\frac{Px}{P+Q}=\frac{Px}{P+Q}$

অতএব, লব্ধির সরণ $=\frac{\mathrm{Px}}{P+Q}$

$\therefore$ লব্ধি $\frac{Px}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে। (প্রমাণিত)

ধরি, $P$ ও $Q(P>Q)$ বলদ্বয়ের লব্ধি = R

ধরি, $\mathrm{OD},\angle AOB$ এর সমদ্বিখণ্ডক। $\mathrm{OD}$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $=\beta$.

লব্ধি $R,P$ এর সাথে $(\frac{\alpha }{2}-\beta )$ কোণে ক্রিয়ারত। $P$ ও বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে আমরা পাই, $\theta =\alpha -(\frac{\alpha }{2}-\beta )-(\frac{\alpha }{2}-\beta )=2\beta$

বা, $\beta =\frac{\theta }{2}$

১ম ক্ষেত্রে : OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$R\cos \beta =P\cos \frac{\alpha }{2}+Q\cos \frac{\alpha }{2}=(P+Q)\cos \frac{\alpha }{2}$

২য় ক্ষেত্রে : OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$R\sin \beta =P\sin \frac{\alpha }{2}+Q\sin (-\frac{\alpha }{2})=(P-Q)\sin \frac{\alpha }{2}$

সমীকরণ (2) $÷$ (1) করে পাই,

বা, $\tan \beta =\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\alpha }{2}$

$\therefore \tan \frac{\theta }{2}=\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\alpha }{2}$ (প্রমাণিত)