সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: p(x)=a+bx+cx2দৃশ্যকল্প-২ :…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $p\left(x\right)=a+bx+c{x}^2$

ধ$\therefore p\left(\omega \right)=a+b\omega +c{\omega }^2=u(ধ$ ধরি $)$

$p\left(\frac{1}{\omega }\right)=a+b\left(\frac{1}{\omega }\right)+c{\left(\frac{1}{\omega }\right)}^2$

$=a+\frac{b}{\omega }+\frac{c}{{\omega }^2}=v$ (ধরি)

আবার, $\left\{p\right(w){\}}^3+{\left\{p\left(\frac{1}{\omega }\right)\right\}}^3=0$

বা, $u^3+v^3=0$

বা, $(u+v)(u^2-uv+v^2)=0$

বা, $(u+v)\{u^2+(\omega +{\omega }^2)uv+v^2\cdot {\omega }^3\}=0$

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0$ এবং ${\omega }^3=1]$

বা, $(u+v)(u^2+uv\omega +uv{\omega }^2+v^2\cdot {\omega }^3)=0$.

বা, $(u+v)\left\{u\right(u+v\omega )+v{\omega }^2(u+v\omega \left)\right\}=0$

বা, $(u+v)(u+v\omega )(u+v{\omega }^2)=0$

হয়, $u+v=0$

বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+a+\frac{b}{\omega }+\frac{c}{{\omega }^2}=0$

বা, $a{\omega }^2+b{\omega }^3+c{\omega }^4+a{\omega }^2+b\omega +c=0$

বা, $a{\omega }^2+b+c\omega +a{\omega }^2+b\omega +c=0[\because {\omega }^3=1]$

বা, $2a{\omega }^2+b(1+\omega )+c(1+\omega )=0$

বা, $2a{\omega }^2-b{\omega }^2-c{\omega }^2=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

বা, ${\omega }^2(2a-b-c)=0$

বা, $2a-b-c=0[\because {\omega }^2\ne 0]$

বা, $2a=b+c$

$\therefore a=\frac{1}{2}(b+c)$

অথবা, $u+v\omega =0$

বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+(a+\frac{b}{{\omega }^2}+\frac{c}{{\omega }^2})\omega =0$

বা, $a+b\omega +c{\omega }^2+a\omega +b+\frac{c}{\omega }=0$

বা, $a\omega +b{\omega }^2+c{\omega }^3+a{\omega }^2+b\omega +c=0$

বা, $a(\omega +{\omega }^2)+2c+b(\omega +{\omega }^2)=0[\because {\omega }^3=1]$

বা, $-a+2c-b=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

বা, $2c=a+b$

$\therefore c=\frac{1}{2}(a+b)$

অতএব, $a=\frac{1}{2}(b+c)$ অথবা $c=\frac{1}{2}(a+b)$.

এখানে, এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল $\omega$

$\therefore \omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

$\therefore$ এককের অপর কাল্পনিক ঘনমূল ${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

বামপক্ষ $=1+\omega +{\omega }^2$

$=1+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

$=\frac{2-1+\sqrt{3}i-1-\sqrt{3}i}{2}=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore 1+\omega +{\omega }^2=0$ (দেখানো হলো)