সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : p(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a).দৃশ্যকল্প-২…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\\ & =x^2-\mathrm{bx}-\mathrm{ax}+\mathrm{ab}+x^2-cx-\mathrm{bx}+\mathrm{bc}+x^2-\mathrm{ax}-\mathrm{cx}+\mathrm{ca}\\ & =x^2-\mathrm{bx}-\mathrm{ax}+\mathrm{ab}+x^2-\mathrm{cx}-\mathrm{bx}+\mathrm{bc}+x^2-\mathrm{ax}-\mathrm{cx}+\mathrm{ca}\\ & =3x^2-(b+a+c+b+a+c)x+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})\\ \therefore p\left(x\right)& =3x^2-2(a+b+c)x+\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\end{array}$

p(x) রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে রাশিটি দ্বারা গঠিত সমীকরণের নিশ্চায়কের মান শূন্য হবে।

অর্থাৎ, $\{-2(a+b+c){\}}^2-4\cdot 3\cdot (ab+bc+ca)=0$

বা, $4(a+b+c{)}^2-12(ab+bc+ca)=0$

বা, $4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-12ab-12bc-12ca=0$

বা, $4a^2+4b^2+4c^2+8ab+8bc+8ca-12ab-12bca=0$

বা, $4a^2+4b^2+4c^2-4\mathrm{ab}-4\mathrm{bc}-4\mathrm{ca}=0$

বা, $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$

বা, $a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0$

বা, $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$

আমরা জানি, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ, $(a-b{)}^2=0$

বা, $a-b=0$

$\therefore a=b$

আবার, $(b-c{)}^2=0$

বা$\begin{array}{c}\text{ বা, }b-c=0\\ \therefore b=c\end{array}$

আবারবা$\begin{array}{c}\text{ আবার, }(c-a{)}^2=0\\ \text{ বা, }c-a=0\\ \therefore c=a\end{array}$

$\therefore a=b=c$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0.............\left(i\right)$

এবং ${\mathrm{cx}}^2-2\mathrm{bx}+4a=0...........\left(ii\right)$

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ এবং (ii)নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\beta ,\gamma$

এখানে, (i) নং ও (ii) নং সমীকরণের একটি সাধারণ মূল $\beta$

$\therefore a{\beta }^2+b\beta +c=0...........\left(iii\right)$

$c{\beta }^2-2b\beta +4a=0...............\left(iv\right)$

এখন, (iii) ও (iv) নং হতে বজ্জগুণনের সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{4ab+2bc}=\frac{\alpha }{c^2-4a^2}=\frac{1}{-2ab-bc}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{2(\mathrm{bc}+2\mathrm{ab})}=\frac{\alpha }{c^2-4a^2}=\frac{1}{-(\mathrm{bc}+2\mathrm{ab})}$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{2(\mathrm{bc}+2\mathrm{ab})}=\frac{\alpha }{c^2-4a^2}$

বা, $a=\frac{2(bc+2ab)}{-4a^2+c^2}=\frac{2b(c+2a)}{(c+2a)(c-2a)}$

আবার, $\alpha =\frac{c^2-4a^2}{-2ab-bc}$

$=\frac{(c+2a)(c-2a)}{-b(2a+c)}$

$\therefore \frac{2b(c+2a)}{(c+2a)(c-2a)}=\frac{(c+2a)(c-2a)}{-b(2a+c)}$

বা, $-2b^2(c+2a{)}^2=(c+2a{)}^2(c-2a{)}^2$

বা, $(c+2a{)}^2\{-2b^2-(c-2a{)}^2\}=0$

হয়, $(2a+c{)}^2=0$

$\therefore 2a+c=0$

অতএব, $2a+c=0$

অথবা, $-2b^2-(c-2a{)}^2=0$

বা, $(2a-c{)}^2+2b^2=0$

অথবা $(2a-c{)}^2+2b^2=0$. (প্রমাণিত)