সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: P=cos−1⁡(x3),Q=cos−1⁡(y2).দৃশ্যকল্প-2 :…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$P={\cos }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right),Q={\cos }^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)$

এখন, $P+Q=\theta$ হলে,

${\cos }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+{\cos }^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=\theta$

বা, ${\cos }^{-1}(\frac{x}{3}\cdot \frac{y}{2}-\sqrt{1-{\left(\frac{x}{3}\right)}^2}\sqrt{1-{\left(\frac{y}{2}\right)}^2})=\theta$

বা, $\frac{xy}{6}-\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}=\cos \theta$

বা, $\frac{xy}{6}-\cos \theta =\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}$

বা, $\frac{x^2{y}^2}{36}-2\cdot \frac{xy}{6}\cos \theta +{\cos }^2\theta =(1-\frac{x^2}{9})(1-\frac{y^2}{4})$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{x^2{y}^2}{36}-\frac{xy}{3}\cos \theta +{\cos }^2\theta =1-\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}+\frac{x^2{y}^2}{36}$

বা, $\frac{x^2}{9}-\frac{xy}{3}\cos \theta +\frac{y^2}{4}=1-{\cos }^2\theta$

বা, $\frac{4x^2-12xy\cos \theta +9y^2}{36}={\sin }^2\theta$

$\therefore 4x^2-12xy\cos \theta +9y^2=36{\sin }^2\theta$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x$

$f\left(2x\right)=\sin 2x$

$f\left(3x\right)=\sin 3x$

$f(\frac{\pi }{2}-x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$

$f(\frac{\pi }{2}-2x)=\sin (\frac{\pi }{2}-2x)=\cos 2x$

প্রদত্ত সমীকরণ, $f\left(x\right)+f\left(2x\right)+f\left(3x\right)=1+f(\frac{\pi }{2}-x)+f(\frac{\pi }{2}-2x)$

বা, $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=1+\cos x+\cos 2x$

বা, $\sin 3x+\sin x+\sin 2x=1+\cos 2x+\cos x$

বা, $2\cdot \sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}+\sin 2x=2{\cos }^{2}x+\cos x$

বা, $2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\cos x(2\cos x+1)$

বা, $\sin 2x(2\cos x+1)=\cos x(2\cos x+1)$

বা, $\sin 2x(2\cos x+1)-\cos x(2\cos x+1)$

বা, $(2\cos x+1)(\sin 2x-\cos x)=0$

হয় $2\cos x+1=0$

বা, $\cos x=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos x=-\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $\cos x=\cos (\pi -\frac{\pi }{3})$

বা, $\cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

যেখানে n পূর্ণসংখ্য

অথবা, $\sin 2x-\cos x=0$

বা, $2\sin x\cos x-\cos x=0$

বা, $\cos x(2\sin x-1)=0$

আবার,

হয় $\cos x=0$ অথবা, $2\sin x-1=0$

বা, $\cos x=\mathrm{cox}\frac{\pi }{2}$ বা, $\sin x=\frac{1}{2}$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$ যেখানে $n$ পূর্ণসংখ্যা

বা, $\sin x=\sin \frac{\pi }{6}$

$\therefore x=n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

যেখানে n পূর্ণসংখ্যা

নির্ণেয় সমাধান, $(2n+1)\frac{\pi }{2},2n\pi \pm \frac{2\pi }{3},n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$; যেখানে $n$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।