সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(1,-2)

এবং শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:

$2x-y+4=0$

তাহলে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ, (i) নং এর সমান্তরাল

ধরি, নিয়ামক রেখার সমীকরণ:

$2x-y+k=0$

আমরা জানি,

$\mathrm{SZ}=2.\mathrm{SA}$

$\Rightarrow S(1,-2)$ বিন্দু হতে (ii) নং রেখার লম্বদূরত্ব $=2\times S$ বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্বদূরত্ব

$\Rightarrow \left|\frac{2+2+k}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|=2\times \left|\frac{2+2+4}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|$

$\Rightarrow \frac{k+4}{\sqrt{5}}=2\times \frac{8}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow k=16-4=12$

$k$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$2x-y+12=0$

ইহাই নিয়ামক রেখার সমীকরণ

ধরি, পরাবৃত্তের উপরে যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞা হতে পাই,

$\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

$\Rightarrow \sqrt{(x-1{)}^2+(y+2{)}^2}=\left|\frac{2x-y+12}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|$

$\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+4y+4=\frac{1}{5}(2x-y+12{)}^2$

$\Rightarrow 5(x^2-2x+1+y^2+4y+4)=4x^2+y^2+144-4\mathrm{xy}-24y+48x$

$\Rightarrow x^2+4y^2-58x+44y+4\mathrm{xy}-119=0$

$\therefore (x+2y{)}^2-58x+44y-119=0$

ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $S(-2,0)$ এবং $S^{\prime }(2,0)$.

$\therefore$ উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষটি $X$-অক্ষের সমান্তরাল হবে [ $\because$ উপকেন্দ্রের কোটিদ্বয় সমান]

$\therefore$ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\frac{-2+2}{2},\frac{0-0}{2})=(0,0)$

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

উপবৃত্তটি $(4,0)$ বিন্দুগামী হলে,

$\frac{4^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow a^2=16$

$\therefore a=4$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$2\mathrm{ae}=\sqrt{(-2-2{)}^2+(0-0{)}^2}$

$\Rightarrow 2\times 4\times e=4$

$\Rightarrow e=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow b^2=12$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$.