সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : পরস্পর…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

পরস্পর Q কোণে ক্রিয়াশীল P,Q মানের বলদ্বয়ের লব্ধির মান $(2m+1)\sqrt{P^2+{\theta }^2}$

$\therefore {\left\{\right(2m+1\left)\sqrt{P^2+{\theta }^2}\right\}}^2=P^2+{\theta }^2+2P\theta \cos \theta$

$\Rightarrow (2m+1{)}^2(P^2+{\theta }^2)-(P^2+{\theta }^2)=2P\theta \cos \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)\left\{\right(2m+1{)}^2-1)=2P\theta \cos \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)(4m^2+4m+1-1)=2P\theta \cos \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)(4m^2+4m)=2PQ\cos \theta ....\left(i\right)$

আবার,

$(\pi 2-\theta )$ কোণে ক্রিয়াশীল P, Q মানের বলদ্বয়ের লব্ধির মান $(2m-1)\sqrt{P^2+Q^2}$

$\therefore {\left\{\right(2m-1\left)\sqrt{P^2+{\theta }^2}\right\}}^2=P^2+{\theta }^2+2P\theta \cos (\pi /2-\theta )$

$\Rightarrow (2m-1{)}^2(P^2+{\theta }^2)-(P^2+{\theta }^2)=2P\theta \sin \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)\left\{\right(2m-1{)}^2-1\}=2P\theta \sin \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)(4m^2-4m+1-1)=2P\theta \sin \theta$

$\Rightarrow (P^2+{\theta }^2)(4m^2-4m)=2P\theta \sin \theta$... (ii)

(ii) নং $÷$ (i) হতে পাই,

$\frac{(P^2+{\theta }^2)(4m^2-4m)}{(P^2+{\theta }^2)(4m^2+4m)}=\frac{2P\theta \sin \theta }{2P\theta \cos \theta }$

$\Rightarrow \frac{4m(m-1)}{4m(m+1)}=\tan \theta$

$\Rightarrow \frac{m-1}{m+1}=\tan \theta$

$\therefore \tan \theta =\frac{m-1}{m+1}$ (প্রমাণিত)

মনেকরি,

AB দন্ডের C, O, E বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R মানের বলত্রয় ক্রিয়া করে, যেখানে, AC = 3m, AD = 6m এবং AE = 8m

যেহেতু, দণ্ডটি সাম্যাবস্থায় আছে, সুতরাং, P,Q দুইটি সদৃশ ধরলে এদের লব্ধি (P+Q) বরটি R এর সমান ও বিপরীতমুখী ক্রিয়াশীল হবে।

$\therefore R=P+Q\dots$ (i)

এবং,

$P\cdot CD=Q\cdot DE$

$\Rightarrow \frac{P}{DE}=\frac{Q}{CD}=\frac{P+Q}{CD+DE}=\frac{R}{CE}$ [(i) হতে)

$\Rightarrow \frac{P}{AE-AD}=\frac{Q}{AD-AC}=\frac{R}{AE-AC}$

$\Rightarrow \frac{P}{8-6}=\frac{Q}{6-2}=\frac{R}{8-2}$

$\Rightarrow \frac{P}{2}=\frac{Q}{4}=\frac{R}{6}$

$\therefore P:Q:R=1:2:3$ (দেখানো হল)