সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : P+Q…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $P+Q$ ও $P-Q$ বলদ্বয় OA ও OB রেখা বরাবর $x$ কোণে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি R, OC রেখা ব্রাবর ক্রিয়াশীল। 

আবার, $\angle \mathrm{AOB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক রেখা OD এর সাথে লব্ধি OC রেখা $y$ কোণ উৎপন্ন করে।

$\therefore \angle \mathrm{COD}=y,\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOD}=\frac{x}{2}$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=\frac{x}{2}-y$

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=\frac{x}{2}+y=\angle \mathrm{OCA}$

এখন, AOC ত্রিভুজে বলের সাই সূত্রের সাহায্যে পাই,

$\frac{P+Q}{\sin OCA}=\frac{P-Q}{\sin AOC}=\frac{R}{\sin OAC}$

$\therefore \frac{P+Q}{\sin OCA}=\frac{P-Q}{\sin AOC}$

বা, $\frac{P+Q}{P-Q}=\frac{\sin OCA}{\sin AOC}=\frac{\sin (\frac{x}{2}+y)}{\sin (\frac{x}{2}-y)}$

বা, $\frac{P+Q+P-Q}{P+Q-P+Q}=\frac{\sin (\frac{x}{2}+y)+\sin (\frac{x}{2}-y)}{\sin (\frac{x}{2}+y)-\sin (\frac{x}{2}-y)}$

বা, $\frac{P}{Q}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos y}{2\cos \frac{x}{2}\sin y}$ বা, $\frac{P}{Q}=\tan \frac{x}{2}\cot y$

বা, $\frac{P}{\cot y}=Q\tan \frac{x}{2}$

$\therefore P\tan y=Q\tan \frac{x}{2}$. (দেখানো হলো)

ধরি, বলত্রয়ের লব্ধি S,

P বলের সাথে $\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল।

P এর দিক বরাবর উপাংশ নিয়ে,

$S\cos \theta =P\cos 0^{\circ }+2P\cos {120}^{\circ }+3P\cos (-{120}^{\circ })$

$=P-P-\frac{3}{2}P=\frac{-3}{2}P;$

P এর লম্ব দিকে উপাংশ নিয়ে,

$S\sin \theta =P\sin 0^{\circ }+2P\sin {120}^{\circ }+3P\sin (-{120}^{\circ })$

$=\sqrt{3P}-\frac{3\sqrt{3}}{2}P=\frac{-\sqrt{3}}{2}P\dots ..\text{ (ii) }$

(i) ও (ii) নং বর্গ করে যোগ করি,

$S^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=p^2\{{\left(\frac{-3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)}^2\}$

$S=P\sqrt{{(-\frac{3}{2})}^2+{\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$ বা, $\frac{P}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}P$

(ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{S\sin \theta }{S\cos \theta }=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}P}{\frac{-3}{2}P}$

বা, $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ বা, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\therefore \theta ={30}^{\circ }$

অতএব, বলত্রয়ের লব্ধির মান $\sqrt{3}P$ যা P এর সাথে ${30}^{\circ }$ কোণে ক্রিয়াশীল।