সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: PQR ত্রিভুজের…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

PQR ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ০ থেকে OP, OQ এবং OR বরাবর কার্যরত যথাক্রমে S, T এবং W বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে।

লামির উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$\frac{S}{\sin \angle \mathrm{QOR}}=\frac{T}{\sin \angle \mathrm{POR}}=\frac{W}{\sin \angle \mathrm{POQ}}$

বা, $\frac{S}{\sin (\pi -\frac{Q+R}{2})}=\frac{T}{\sin (\pi -\frac{P+R}{2})}=\frac{W}{\sin (\pi -\frac{P+Q}{2})}$

বা, $\frac{S}{\sin \frac{Q+R}{2}}=\frac{T}{\sin \frac{P+R}{2}}=\frac{W}{\sin \frac{P+Q}{2}}$

বা, $\frac{S}{\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{P}{2})}=\frac{T}{\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{Q}{2})}=\frac{W}{\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{R}{2})}[\because \Delta PQR\to P+Q+R=\pi ]$

বা, $\frac{S}{\cos \frac{P}{2}}=\frac{T}{\cos \frac{Q}{2}}=\frac{W}{\cos \frac{R}{2}}$

$\therefore S:T:W=\cos \frac{P}{2}:\cos \frac{Q}{2}:\cos \frac{R}{2}\cdot$ (প্রমাণিত)

মনে করি, C ও D বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল যথাক্রমে A ও B। বলদ্বয়ের লব্ধি R; যা E বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

এক্ষেত্রে, $A.CE=B.DE$

বা, $\frac{CE}{DE}=\frac{B}{A}$

বা, $\frac{\mathrm{CE}+\mathrm{DE}}{\mathrm{DE}}=\frac{B+A}{A}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DE}}=\frac{A+B}{A}$

বা, $(A+B)\cdot \mathrm{DE}=A\cdot \mathrm{CD}$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{A}{A+B}\cdot \mathrm{CD}$

পরবর্তীতে A বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে C বিন্দু হতে CF = 1 দূরত্বে সরানো হলে এর লব্ধি R; যা E বিন্দু হতে সরে G বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

এক্ষেত্রে, $AFG=B.DG$

বা, $\frac{FG}{DG}=\frac{B}{A}$

বা, $\frac{FG+DG}{DG}=\frac{B+A}{A}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{DG}}=\frac{A+B}{A}$

বা, $(A+B)DG=A\cdot FD$

$\therefore DG=\frac{A}{A+B}\cdot FD$

এখন, A ও B এর লব্ধির সরণ, $\mathrm{EG}=\mathrm{DE}-\mathrm{DG}$

$=\frac{A}{A+B}\cdot CD-\frac{A}{A+B}\cdot FD$

$=\frac{A}{A+B}(CD-FD)$

$=\frac{Al}{A+B}[\because CD-FD=CF=l]$

$\therefore A$ ও B এর লব্ধি $\frac{\mathrm{Al}}{A+B}$ দূরত্বে সরে যাবে। (দেখানো হলো)