সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: P=sec−1⁡5−12sin−1⁡35+cot−1⁡3দৃশ্যকল্প-২: cos−1⁡ma+cos−1⁡nb=x…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

দেখানোহল$\begin{array}{cc}P& ={\sec }^{-1}\sqrt{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\cot }^{-1}3\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2/3}{1+\frac{1}{9}}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2}{3}\times \frac{9}{10}\\ & ={\tan }^{-1}2-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}\\ & ={\tan }^{-1}2(\text{ দেখানো হল) }\end{array}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

${\cos }^{-1}\frac{m}{a}+{\cos }^{-1}\frac{n}{b}=x$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\{\frac{m}{a}\cdot \frac{n}{b}-\sqrt{(1-\frac{m^2}{a^2})(1-\frac{n^2}{b^2})}\}=x$

$\Rightarrow \frac{m}{a}\cdot \frac{n}{b}-\sqrt{(1-\frac{m^2}{a^2})(1-\frac{n^2}{b^2})}=\cos x$

$\Rightarrow \sqrt{(1-\frac{m^2}{a^2})(1-\frac{n^2}{b^2})}=(\frac{m}{a}\cdot \frac{n}{b}-\cos x)$

$\Rightarrow 1-\frac{m^2}{a^2}-\frac{n^2}{b^2}+\frac{m^2}{a^2}\cdot \frac{n^2}{b^2}=\frac{m^2}{a^2}\cdot \frac{n^2}{b^2}-2\frac{mn}{ab}\cos x+{\cos }^{2}x$

$\Rightarrow \frac{m^2}{a^2}-\frac{2mn}{ab}\cos x+\frac{n^2}{b^2}=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$

$\therefore \frac{m^2}{a^2}-\frac{2mn}{ab}\cos x+\frac{n^2}{b^2}={\sin }^{2}x$

(দেখানো হলো)