সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: px2+qx+q=0 সমীকরনের…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ, ${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+q=0$

ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore$ মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\beta =-\frac{q}{p}$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \beta =\frac{q}{p}$

শর্তমতে, $\frac{\alpha }{\beta }=\frac{u}{v}$

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{u}{v}}+\sqrt{\frac{v}{u}}+\sqrt{\frac{q}{p}}$

$=\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha }}+\sqrt{\frac{q}{p}}$

$=\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{\alpha \beta }}+\sqrt{\frac{q}{p}}$

$=\frac{\frac{-q}{p}}{\sqrt{\frac{q}{p}}}+\sqrt{\frac{q}{p}}$

$=-\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{q}{p}}=0=$ ডানপক্ষ

সুতরাং $\sqrt{\frac{u}{v}}+\sqrt{\frac{v}{u}}+\sqrt{\frac{q}{p}}=0$. (প্রমাণিত)

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত রাশি $={(3x^2-\frac{1}{x})}^n$

রাশিটির সাধারণ পদ বা $(r+1)$ তম পদ

$T_{r+1}={}^n{C}_r{\left(3x^2\right)}^{n-r}{(-\frac{1}{x})}^r$

$n=9$ সংখ্যাটি বিজোড় হওয়ায় রাশিটির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে জোড় সংখ্যক। এক্ষেত্রে মধ্যপদ থাকবে দুইটি এবং তাহলো $(\frac{9-1}{2}+1)$ তম বা 5 তম পদ ও $(\frac{9+1}{2}+1)$ তম বা 6 তম পদ।

$\therefore n=9$ এর ক্ষেতের 5 -তম বা $(4+1)$ তম পদ

$={}^9{C}_4{\left(3x^2\right)}^{9-4}{(-\frac{1}{x})}^4$

$=126\times 243\times x^{10}\times \frac{1}{x^4}=30618x^6$

6-তম বা $(5+1)$ তম পদ $={}^9{C}_5{\left(3x^2\right)}^{9-5}{(-\frac{1}{x})}^5$

$=126\times 81\times x^8(-\frac{1}{x^5})$

$=-10206x^3$

আবার, $n=12$ সংখ্যাটি জোড় হওয়ায় রাশিটির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে বিজোড় সংখ্যক। এক্ষেত্রে মধ্যপদ থাকবে একটি এবং তা হলো $(\frac{12}{2}+1)$ তম বা 7 তম পদ।

$\therefore n=12$ এর ক্ষেত্রে 7-তম বা $(6+1)$ তম পদ

$={}^{12}{C}_6{\left(3x^2\right)}^{12-6}\cdot {(-\frac{1}{x})}^6$

$=924\times 729\times x^{12}\times \frac{1}{x^6}=673596x^6$