সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: Q ও…’ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

১ম চিত্রে, $\alpha$ কোণে হেলানো তল $AB$ এর ওপর $C$ বিন্দুতে $W$ ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত $Q$ বল স্থির অবস্থায় রাখে। হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ $R_1$ হলে বল $R_1$, $Q$, $W$ ভারসাম্য সৃষ্টি করবে।

$R_1$ চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে। 

লামির সুত্রানুযায়ী $\frac{R_1}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{Q}{\sin ({180}^{\circ }-\alpha )}=\frac{W}{\sin ({90}^{\circ }+\alpha )}$

বা, $\frac{R_1}{1}=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{W}{\cos \alpha }$

এখন, $\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{W}{\cos \alpha }$

বা, $\frac{W}{Q}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

বা, $\frac{W}{Q}=\cot \alpha$

বা, $\frac{W^2}{Q^2}={\cot }^2\alpha$$......\left(i\right)$ 

২য় চিত্রে, হেলানো তলটির দৈর্ঘ্যের দিকে $P$ বল ক্রিয়াশীল হওয়ায় $W$ ওজনের বস্কুটি হেলানো তলটির ওপর স্থির অবস্থায় থাকে। বস্তুর চাপ $R_2$ হলে $R_2,P,W$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে এবং $R_2$ চাপ হেলানো তলের সাথে লম্বিক দিকে ক্রিয়াশীল থাকবে। 

লামির সূত্রানুযায়ী, $\frac{R_2}{\sin ({90}^{\circ }+\alpha )}=\frac{P}{\sin ({180}^{\circ }-\alpha )}=\frac{W}{\sin {90}^{\circ }}$

বা, $\frac{R_2}{\cos \alpha }=\frac{P}{\sin \alpha }=\frac{W}{1}$

এখন, $\frac{P}{\sin \alpha }=W$

বা, $\frac{W}{P}=\frac{1}{\sin \alpha }$

বা, $\frac{W}{P}=\mathrm{cosec}\alpha$

বা, $\frac{W^2}{P^2}={\mathrm{cosec}}^2\alpha$$.....\left(ii\right)$

$\left(ii\right)$ নং হতে $\left(i\right)$ নং বিয়োগ করে পাই,

$\frac{W^2}{P^2}-\frac{W^2}{Q^2}={\mathrm{cosec}}^2\alpha -{\cot }^2\alpha$

বা, $W^2(\frac{1}{P^2}-\frac{1}{Q^2})=1$

বা, $W^2\left(\frac{Q^2-P^2}{P^2{Q}^2}\right)=1$

বা, $W^2=\frac{P^2{Q}^2}{Q^2-P^2}$

$\therefore W=\frac{PQ}{\sqrt{Q^2-P^2}}$ (প্রমাণিত) 

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $P\propto \cos A$

বা, $P=k\cos A$

$Q\propto \cos B$

বা, $Q=k\cos B$

$P$ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, 

$R\cos \theta =P\cos 0^{\circ }+Q\cos C$ 

বা, $R\cos \theta =P+Q\cos C$

বা. $R\cos \theta =k\cos A+k\cos B\cos B$ 

$\begin{array}{cc}& =k\cos \{\pi -(B+C\left)\right\}+k\cos B\cos C[\because A+B+C=\pi ]\\ & =-k\cos (B+C)+k\cos B\cos C\\ & =-k\cos B\cos C+k\sin B\sin C+k\cos B\cos C\end{array}$ 

$\therefore R\cos \theta =k\sin B\sin C$$.....\left(i\right)$

এবং $R\sin \theta =P\sin 0^{\circ }+Q\sin C$

বা, $R\sin \theta =0+k\cos B\sin C$

বা, $R\sin \theta =k\cos B\sin C$$.....\left(ii\right)$

$\left(i\right)$ নং ও $\left(ii\right)$ নং কে বর্গ করে যোগ করি,

$R^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=k^2{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C+k^2{\cos }^{2}B{\sin }^{2}C$

বা, $R^2\cdot 1=k^2{\sin }^{2}C({\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B)$

বা, $R^2=k^2{\sin }^{2}C\cdot 1$

বা, $R=k\sin C$

$\therefore R\propto \sin C$

আবার, $\left(ii\right)$ কে $\left(i\right)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{R\sin \theta }{R\cos \theta }=\frac{k\cos B\sin C}{k\sin B\sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}$

বা, $\tan \theta =\cot B=\tan (\frac{\pi }{2}-B)$.

বা, $\theta =\frac{\pi }{2}-B$

বা, $\theta =\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C-B[\because A+B+C=\pi ]$

বা, $\theta =\frac{1}{2}C+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B$

$\therefore \theta =\frac{1}{2}(C+A-B)$

অতএব, $R\propto \sin C$ এবং $\theta =\frac{1}{2}(C+A-B)$. (প্রমাণিত)