সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: S (3,…’ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র$s(3,4)$

শীর্ষবিন্দু$A(0,0)$

ধরি, পরাবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু P(x,y)

নিয়ামক রেখার পদবিন্দু$z(\alpha ,\beta )$

A বিন্দু z ও s এর মধ্যবিন্দু $\frac{3+\alpha }{2}=0\therefore \alpha =-3$

$\frac{4+\beta }{2}=0\therefore \beta =-4$

Sz রেখার সমীকরণ, $\frac{x-3}{z+3}=\frac{y+4}{4+4}$

বা, $8(x-3)=6(y-4)$

বা, $8x-24=6y-24$

বা, $8x-6y=0......\left(i\right)$

(i) নং রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,

$6x+8y+K=0........\left(ii\right)$;যা$(-3,+4)$বিন্দুগামী।

$\therefore 6(-3)+8(-4)+k=0$

বা, $18-32+k=0$

বা, $K=50$

সুতরাং, (ii) $\Rightarrow 6x+8y+50=0$

এখন, $SP=PM$

বা, $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-4{)}^2}=\left|\frac{6x+8y+50}{\sqrt{6^2+82}}\right|$

বা, $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{1}{100}(6x+8y+50{)}^2$

বা, $100(x^2-6x+9+y^2-8y+16)=36x^2+64y^2+2500+96xy+600x+800y$

বা, $64x^2+36y^2-96xy-1200x-1600y-900=0$

উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 8 একক।

বা, $2ae=8$

বা, $ae=\frac{8}{2}$.

বা, $a=\frac{8}{2}..........\left(i\right)$

আবার,

নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 18 একক

$\begin{array}{cc}& \text{ or, }\frac{2a}{e}=18\\ & \text{ or, }\frac{a}{e}=9\\ & \text{ or, }\frac{8/2e}{e}=9\\ & \text{ or, }{e}^2=\frac{4}{9}\\ & \text{ or, }e=\frac{2}{3}\end{array}$

$\therefore$ (i) নং থেকে পাই,

$a=\frac{8}{2e},\frac{8}{2\cdot \frac{2}{3}}=6$

এখন, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

বা, $\frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}$

বা, $\frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}$

বা, $b^2=20$

বা, $b=2\sqrt{5}$

সুতরাং, উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt{5}{)}^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$