সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: sec−1⁡53+cot−1⁡115+sin−1⁡1665দৃশ্যকল্প-২: 3sin⁡θ=2+cos⁡θ…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এর রাশি ${\sec }^{-1}\frac{5}{3}+{\cot }^{-1}\frac{12}{5}+{\sin }^{-1}\frac{16}{65}$

$={\tan }^{-1}\frac{4}{3}+{\tan }^{-1}\frac{5}{12}+{\tan }^{-1}\frac{16}{63}$

[উপরের চিত্র হতে]

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}\frac{\frac{4}{3}+\frac{5}{12}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{12}}+{\tan }^{-1}\frac{16}{63}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{48+15}{36}}{\frac{36-20}{36}}+{\tan }^{-1}\frac{16}{63}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{63}{16}+{\tan }^{-1}\frac{16}{63}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{1-\frac{63}{16}\cdot \frac{16}{63}}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{1-1}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{63}{16}+\frac{16}{63}}{0}={\tan }^{-1}\infty \\ & ={\tan }^{-1}\tan \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\end{array}$

$\therefore {\sec }^{-1}\frac{5}{3}+{\cot }^{-1}\frac{12}{5}+{\sin }^{-1}\frac{16}{65}=\frac{\pi }{2}$

[বি. দ্র. প্রশ্নে ${\cot }^{-1}\frac{11}{5}$  এর স্থানে ${\cot }^{-1}\frac{12}{5}$  হবে।

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ,

$\sqrt{3}\sin \theta =2+\cos \theta$

বা, $\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta =2$.
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -\frac{1}{2}\cos \theta =1$
বা, $\sin \theta \cdot \cos \frac{\pi }{6}-\cos \theta \cdot \sin \frac{\pi }{6}=1$
বা, $\sin (\theta -\frac{\pi }{6})=1$
বা, $\theta -\frac{\pi }{6}=(4n+1)\frac{\pi }{2}$ यেখानে $n\in z$
বা, $\theta =(4n+1)\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$

n= 0 হলে, $\theta =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$

n= 1 হলে,$\theta =-\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=-\frac{4\pi }{3}$

n=-1 হলে, $\theta =-\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=-\frac{4\pi }{3}$

n=-2 হলে, $\theta =$$-\frac{7\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=-\frac{10\pi }{3}$

$-2\pi <\theta <2\pi$ সীমার মধ্যে, $\theta =-\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $\theta =-\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$