সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ sec⁡A=5,cosecB=53 এবং…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$\sec A=\sqrt{5}$ এবং $\mathrm{cosec}B=\frac{5}{3}$

বা, $A={\sec }^{-1}\sqrt{5}$ বা, $B={\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{5}{3}$

এবং $\cot C=3$

বা, $C={\cot }^{-1}3$

প্রদত্ত রাশি $=A+C-\frac{1}{2}B$

$={\sec }^{-1}\sqrt{5}+{\cot }^{-1}3-\frac{1}{2}{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{5}{3}$

$={\tan }^{-1}2+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+\frac{1}{9}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{6}{9+1}\right)-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}={\tan }^{-1}2$

নির্ণেয় মান ${\tan }^{-1}2$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

এখানে, $\sqrt{3}f\left(x\right)-f(\frac{\pi }{2}+x)=2$

বা, $\sqrt{3}\sin x-\sin (\frac{\pi }{2}+x)=2$

বা, $\sqrt{3}\sin x-\cos x=2$

বা, $\cos x-\sqrt{3}\sin x=-2$

বা, $\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-1$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}$ বা, 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{3}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{3}=-1$

বা, $\cos (x+\frac{\pi }{3})=-1$

বা, $x+\frac{\pi }{3}=(2n+1)\pi ;n\in Z$

বা, $x=2n\pi +\pi -\frac{\pi }{3}=2n\pi +\frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=2n\pi +\frac{2\pi }{3}$,

$n=0$ হলে, $x=\frac{2\pi }{3}$

$n=1$ হলে, $x=2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$

$n=-1$ হলে, $x=-2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{-4\pi }{3}$

$-2\pi <x<2\pi$ ব্যবধিতে নির্ণয় সমাধান : $x=\frac{-4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$.