সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : sec⁡y=2xদৃশ্যকল্প-২…’ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sec \sqrt{y}=2x$

বা, $\sqrt{y}={\sec }^{-1}\left(2x\right)$

বা, $y={\{{\sec }^{-1}(2x\left)\right\}}^2$ [বর্গ করে]

$x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $y_1=2{\sec }^{-1}\left(2x\right)\cdot \frac{2}{2x\sqrt{4x^2-1}}$

বা, $y_1=2\frac{{\sec }^{-1}\left(2x\right)}{x\sqrt{4x^2-1}}$

বা, $y_1\left(x\sqrt{4x^2-1}\right)=2{\sec }^{-1}\left(2x\right)$

বা, $y_1^2\left\{x^2(4x^2-1)\right\}=4{\{{\sec }^{-1}(2x\left)\right\}}^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2(4x^2-1)y_1{}^2=4y$

$x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$x^2(4x^2-1)\left(2y_1{y}_2\right)+y_1^2(16x^3-2x)=4y_1$

বা, $x^2(4x^2-1)\left(2y_1{y}_2\right)+2x(x^2-1)y_1^2=4y_1$

বা, $x^2(4x^2-1)y_2+x(8x^2-1)y_1=2$

[উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x^2(4x^2-1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x(8x^2-1)\frac{dy}{dx}=2.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$

ধরি, $Q\left(x\right)=\frac{\left\{g\right(x){\}}^2}{4\ln \left(g\right(x\left)\right)}$

$=\frac{(\sqrt{2x}{)}^2}{4\ln \left(\sqrt{2x}\right)}$

$=\frac{2x}{4\ln \left(\right(2x{)}^{\frac{1}{2}})}=\frac{2x}{4\cdot \frac{1}{2}\ln \left(2x\right)}=\frac{2x}{2\ln \left(2x\right)}=\frac{x}{\ln \left(2x\right)}$

$Q^{\prime }\left(x\right)=\frac{\ln \left(2x\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)-x\frac{d}{dx}\{\ln (2x\left)\right\}}{\{\ln (2x){\}}^2}$

$=\frac{\ln \left(2x\right)-x\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2}{\{\ln (2x){\}}^2}$

$=\frac{\ln \left(2x\right)-1}{\{\ln (2x){\}}^2}$

$Q^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{\{\ln (2x\left){\}}^2\frac{d}{dx}\right\{\ln \left(2x\right)-1\}-\{\ln \left(2x\right)-1\}\frac{d}{dx}\left[\right\{\ln \left(2x\right){\}}^2]}{\{\ln (2x){\}}^4}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{\{\ln (2x){\}}^2\frac{2}{2x}-\{\ln \left(2x\right)-1\}2\cdot \ln (2x)\cdot \frac{2}{2x}}{\{\ln (2x){\}}^4}\\ & =\frac{\{\ln (2x){\}}^2\frac{1}{x}-2\{\ln \left(2x\right)-1\}\cdot \ln (2x)\frac{1}{x}}{\{\ln (2x){\}}^4}\\ & =\frac{\frac{\{\ln (2x){\}}^2}{x}-\frac{2\{\ln (2x){\}}^2}{x}+\frac{2\ln \left(2x\right)}{x}}{\{\ln (2x){\}}^4}\\ & =\frac{-\frac{\{\ln (2x){\}}^2}{x}+\frac{2\ln \left(2x\right)}{x}}{\{\ln (2x){\}}^4}\\ & =\frac{-\ln \left(2x\right)\{\ln (2x)+2\}}{x\{\ln (2x){\}}^4}=\frac{-\{\ln (2x)+2}{x\{\ln (2x){\}}^3}\end{array}$

সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের জন্য $Q^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $\frac{\ln \left(2x\right)-1}{\{\ln (2x){\}}^2}=0$

বা, $\ln \left(2x\right)-1=0$

বা, $\ln \left(2x\right)=1$

বা, $2x=e$

বা, $x=\frac{e}{2}$

এখন, $x=\frac{e}{2}$ হলে, $Q^{\prime \prime }\left(\frac{e}{2}\right)=\frac{-\{\ln (2\cdot \frac{e}{2})+2\}}{\frac{e}{2}\cdot \{\ln {(2\cdot \frac{e}{2})}^3\}}$

$=\frac{-(\ln e+2)}{\frac{e}{2}(\ln e{)}^3}$

$=\frac{-(1+2)}{\frac{e}{2}(1{)}^3}=\frac{-3}{\frac{e}{2}}=\frac{-6}{e}<0$

$\therefore x=\frac{e}{2}$ এর জন্য সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

∴ সর্বোচ্চ মান $=\frac{\left(\frac{e}{2}\right)}{\ln (2\cdot \frac{e}{2})}=\frac{\frac{e}{2}}{\ln \left(e\right)}=\frac{\frac{e}{2}}{1}=\frac{e}{2}$

অতএব, $\frac{\left\{g\right(x){\}}^2}{4\ln \left(g\right(x\left)\right)}$ এর সর্বোচ্চ মান $\frac{e}{2}$.