সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: sin−1⁡y=5sin−1⁡xদৃশ্যকল্প-২ :…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ দেওয়া আছে,

${\sin }^{-1}y=5{\sin }^{-1}x$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}{y}_1=\frac{5}{\sqrt{1-x^2}}$

$\Rightarrow y_1\left(\sqrt{1-x^2}\right)=5\left(\sqrt{1-y^2}\right)$

$\Rightarrow y_1^2(1-x^2)=25(1-y^2)$

$\Rightarrow 2y_1{y}_2-2y_1{y}_2{x}^2-2x{y}_1^2=-25.2y{y}_1$

$\Rightarrow y_2-y_2{x}^2-x{y}_1=25y$

$\therefore y_2(1-x^2)-x{y}_1+25y=0$ [Proved]

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$y=x^3-6x^2-15x+10$

$\frac{dz}{dx}=3x^2-12x-15$

Ges $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6x-12$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য ,

$\frac{dy}{dx}=0$

$\Rightarrow 3x^2-12x-15=0$

$\Rightarrow 3x^2-15x+3x-15=0$

$\Rightarrow 3x(x-5)+3(x-5)=0$

$\Rightarrow (x-5)(3x+3)=0$

হয়,

$x-5=0$

$\Rightarrow x=5$

$\therefore x=5,-1$

অথবা, 

$3x+3=0$

$\Rightarrow x=5$

এখন,

$x=-1$ হলে,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6(-1)-12=-6-12=-18<0$

$\therefore x=-1$বিন্দুতে সর্বোচ্চ মান রয়েছে,

$\therefore$সর্বোচ্চ মান,

$=(-1{)}^3-6(-1{)}^2-15(-1)+10$

$=-1-6+15+10=18$

আবার,

$x=5$হলে,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6\times 5-12=30-12=18>0$

$\therefore x-5$বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান রয়েছে।

$\therefore$সর্বনিম্ন মান,

$=5^3-6\times 5^2-15\times 5+10$

$=125-150-75+10$

$=-90$

$\therefore$সর্বোচ্চ মান

এবং সর্বনিম্ন মান $-90\mid$