সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : sin⁡2θ=1213,sin⁡θ1=35,cot⁡θ2=2.দৃশ্যকল্প-১…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sin 2\theta =\frac{12}{13}$
বা, $2\theta ={\sin }^{-1}\frac{12}{13}={\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{2}{3}}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}$
বা, $2\theta =2{\tan }^{-1}\frac{2}{3}[\because {\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}=2{\tan }^{-1}x]$ 

$\begin{array}{cc}& \therefore \theta ={\tan }^{-1}\frac{2}{3}\\ & \sin {\theta }_1=\frac{3}{5}\end{array}$ 

বা, ${\theta }_1={\sin }^{-1}\frac{3}{5}$ 

$\therefore {\theta }_1={\tan }^{-1}\frac{3}{4}$ 

এবং $\cot {\theta }_2=2$
বा, ${\theta }_2={\cot }^{-1}2$ 

$\therefore {\theta }_2={\tan }^{-1}\frac{1}{2}$ 

বামপক্ষ $=\theta +{\theta }_1-{\theta }_2={\tan }^{-1}\frac{2}{3}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$ 

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}{1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}}\right)-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}={\tan }^{-1}\frac{\frac{8+9}{12}}{1-\frac{1}{2}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{17}{\frac{12}{2}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}={\tan }^{-1}(\frac{17}{12}\times \frac{2}{1})-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}}{={\tan }^{-1}\frac{17}{6}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}={\tan }^{-1}\frac{\frac{17}{6}-\frac{1}{2}}{1+\frac{17}{6}\cdot \frac{1}{2}}}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\frac{17-3}{6}}{\frac{12+17}{12}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{14}{6}}{\frac{29}{12}}={\tan }^{-1}(\frac{14}{6}\times \frac{12}{29})\end{array}$

$={\tan }^{-1}\frac{28}{29}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \theta +{\theta }_1-{\theta }_2={\tan }^{-1}\frac{28}{29}$ (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $a\cos x+b\sin x=c$ এবং
এখন, $a=1,b=\sqrt{3}$ এবং $c=\sqrt{2}$ হলে,

$1\cdot \cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

[উভয়পক্ষকে  $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ দ্বারা ভাগ করে ] 

বা, $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$
বা, $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

বা, $\cos \frac{\pi }{3}\cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
বা, $\cos (x-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}$
বা, $x-\frac{\pi }{3}=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}$ যেখানে  $n\in Z$
বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$
বা, $x=2n\pi +\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3},2n\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$ যেখানে , $n\in Z$.

$\therefore x=2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12};$ যেখানে  $n\in Z$., $a=1,b=\sqrt{3}$ এবং $c=\sqrt{2}$ হলে,

$1\cdot \cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

বা, $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$
বা, $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

বা, $\cos \frac{\pi }{3}\cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
বা, $\cos (x-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}$
বা, $x-\frac{\pi }{3}=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}$ যেখানে  $n\in Z$
বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$
বা, $x=2n\pi +\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3},2n\pi -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$ যেখানে , $n\in Z$.

$\therefore x=2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12};$ যেখানে   $n\in Z$.